(1,0 điểm) Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình chữ nhật, \[AB = a\], \(AD = \) \(2a\sqrt 2 \), hình chiếu vuông góc của \[S\] trên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] trùng với trọng tâm của tam giác \[BCD\]. Đường thẳng \[SA\] tạo với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] một góc bằng\[45^\circ \]. Tính theo \[a\] khoảng cách giữa hai đường thẳng \[AC\] và \[SD\].
(1,0 điểm) Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình chữ nhật, \[AB = a\], \(AD = \) \(2a\sqrt 2 \), hình chiếu vuông góc của \[S\] trên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] trùng với trọng tâm của tam giác \[BCD\]. Đường thẳng \[SA\] tạo với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] một góc bằng\[45^\circ \]. Tính theo \[a\] khoảng cách giữa hai đường thẳng \[AC\] và \[SD\].
Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 (có đáp án) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
![Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/1-1766623952.png)
Gọi \(H\) là trọng tâm của tam giác \[BCD\]. Gọi \(O = AC \cap BD\).
Theo giả thiết ta có \[SH \bot \left( {ABCD} \right)\].
Ta có \(AC = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a\sqrt 2 } \right)}^2}} = 3a\).
Khi đó, \(CH = \frac{2}{3}CO = \frac{1}{3}AC = a \Rightarrow AH = AC - HC = 2{\rm{a}}\).
Ta có \[AH\] là hình chiếu vuông góc của \[SA\] trên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] nên góc giữa \[SA\] và \[\left( {ABCD} \right)\] là \(\widehat {SAH}\)\( \Rightarrow \widehat {SAH} = 45^\circ \)\( \Rightarrow SH = AH = 2a\).
Kẻ đường thẳng \(a\) đi qua \(D\) và song song với \(AC\) \( \Rightarrow AC{\rm{//}}\left( {SD,\,a} \right)\).
\[ \Rightarrow {\rm{d}}\left( {{\rm{AC, SD}}} \right) = {\rm{d}}\left( {{\rm{AC,}}\,\left( {{\rm{SD,a}}} \right)} \right) = {\rm{d}}\left( {{\rm{H,}}\left( {{\rm{SD,a}}} \right)} \right)\].
Trong \[\left( {ABCD} \right)\] kẻ \(HK\) vuông góc với \(a\), trong \[\left( {SHK} \right)\] kẻ \(HI \bot SK\).
Suy ra \(a \bot HI \Rightarrow HI \bot \left( {SD,\,a} \right) \Rightarrow d\left( {H,\,\left( {SD,a} \right)} \right) = HI\).
Gọi \({\rm{E}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{AB}} \cap {\rm{DK}}\). Trong \(\Delta AED\) kẻ \(AP \bot ED\), khi đó ta có:
\(\frac{1}{{A{P^2}}} = \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{9}{{8{a^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{9}{{8{a^2}}}\)
Trong \(\Delta SHK\), ta có: \(\frac{1}{{{\rm{H}}{{\rm{I}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ = }}\frac{1}{{{\rm{H}}{{\rm{K}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{1}{{{\rm{S}}{{\rm{H}}^{\rm{2}}}}} = \frac{9}{{8{{\rm{a}}^2}}} + \frac{1}{{4{{\rm{a}}^2}}} = \frac{{11}}{{8{{\rm{a}}^2}}} \Rightarrow {\rm{HI}} = \frac{{2{\rm{a}}\sqrt {22} }}{{11}}\)
\( \Rightarrow {\rm{d}}\left( {AC,SD} \right) = \frac{{a\sqrt {22} }}{{11}}.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a)
![Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \(2a\), \[ (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/screenshot-4733-1766623879.png)
Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \[BD \bot SA\], lại có \(ABCD\) là hình vuông nên \[BD \bot AC\].
Từ đó suuy ra \[BD \bot \left( {SAC} \right)\].
Ta chứng minh được \[IK\] là đường trung bình của tam giác \[BCD\] nên \[IK{\rm{//}}BD\].
Do đó, \[IK \bot \left( {SAC} \right)\].
b)
![Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \(2a\), \[ (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/screenshot-4734-1766623916.png)
Ta có \[\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\], \[AO \bot BD\], \[BD \bot SA \Rightarrow SO \bot BD\].
Vậy góc giữa 2 mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] là \[\widehat {AOS}\] .
Ta có \(AC = 2a\sqrt 2 \Rightarrow AO = \frac{{AC}}{2} = a\sqrt 2 \).
Vì tam giác \[SAO\] vuông tại \[A\] \[ \Rightarrow \tan \widehat {AOS} = \frac{{SA}}{{AO}} = 1 \Rightarrow \widehat {AOS} = 45^\circ \].
Vậy góc giữa 2 mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] bằng \[45^\circ \].
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên suy ra \(AC\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).
Do đó, \(\left( {SC,\,\,\left( {ABCD} \right)} \right)\)\[ = \left( {SC,\,\,AC} \right) = \widehat {SCA}\].
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập