(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a,AD = 2a\). Cạnh \(SA\) vuông góc với đáy và cạnh \(SB\) tạo với đáy một góc \(60^\circ \). Gọi \(M\) là trung điểm \(AD\). Tính theo \(a\) khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(CM\).

Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AB\) là hình chiếu của \(SB\) trên \(\left( {ABCD} \right)\) suy ra góc giữa \(SB\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {SBA} = 60^\circ \).

Dựng hình bình hành \(MCBE\). Gọi \(I\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BE\) và \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SI\).

Ta chứng minh được \(AH \bot \left( {SBE} \right)\).

Khi đó \(d\left( {CM,SB} \right) = d\left( {CM,\left( {SBE} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {SBE} \right)} \right) = 2d\left( {A,\left( {SBE} \right)} \right) = 2AH\).

Mặt khác \(AI = \frac{{AE.AB}}{{\sqrt {A{E^2} + A{B^2}} }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và \(SA = AB \cdot \tan 60^\circ = a\sqrt 3 .\)

Vậy \[d\left( {CM,SB} \right) = 2AH = \]\(\frac{{2AI \cdot SA}}{{\sqrt {A{I^2} + S{A^2}} }} = \frac{{a\sqrt 2 \cdot a\sqrt 3 }}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt {21} a}}{{27}}\).