III. Lời giải chi tiết tự luận

 (1,0 điểm)

a) Cho mẫu số liệu ghép nhóm về khối lượng (đơn vị: gam) của \(30\) củ khoai tây như sau:

Hãy cho biết 75% số lượng khoai tây nặng ít nhất bao nhiêu gam?

b) Cho \({\log _3}a = 2\) và \({\log _2}b = \frac{1}{2}\). Tính \(I = 2{\log _3}\left[ {{{\log }_3}\left( {3a} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{4}}}{b^2}\).

a) Cỡ mẫu: \(n = 3 + 6 + 12 + 6 + 3 = 30\).

Gọi \({x_1},{x_2},...,{x_{30}}\) là khối lượng của 30 củ khoai tây và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Khi đó, trung vị là \(\frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \({x_8}\). Do \({x_8}\) thuộc nhóm \(\left[ {80;90} \right)\) nên nhóm này chứa \({Q_1}\).

Do đó: \(p = 2\), \({a_2} = 80\), \({m_2} = 6\), \({m_1} = 3\), \({a_3} - {a_2} = 10\). Ta có:

\({Q_1} = 80 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 3}}{6}.10 = 87,5\).

Vậy 75% số lượng khoai tây nặng ít nhất là 87,5 gam.

b) Ta có \(I = 2{\log _3}\left[ {{{\log }_3}\left( {3a} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{4}}}{b^2}\)

        \( = 2{\log _3}\left[ {{{\log }_3}3 + {{\log }_3}a} \right] + {\log _{{2^{ - 2}}}}{b^2}\)

        \( = 2{\log _3}\left[ {1 + {{\log }_3}a} \right] - {\log _2}b\)

        \( = 2{\log _3}\left[ {1 + 2} \right] - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\).