Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x + 2y - 6 = 0\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là

Gọi cạnh hình vuông được uốn thành là \(x\) (cm) \(\left( {0 < x < 15} \right)\).

Chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông hay chính là chu vi của hình vuông là \(4x\) (cm).

Chiều dài đoạn dây uốn thành vòng tròn hay chính là chu vi vòng tròn là \(60 - 4x\) (cm). Khi đó bán kính của hình tròn là \(r = \frac{{60 - 4x}}{{2\pi }} = \frac{{30 - 2x}}{\pi }\) (cm).

Diện tích hình vuông được uốn thành là \({S_1} = {x^2}\) (cm2).

Diện tích hình tròn được uốn thành là

\({S_2} = \pi {r^2} = \pi .{\left( {\frac{{30 - 2x}}{\pi }} \right)^2} = \frac{{{{\left( {30 - 2x} \right)}^2}}}{\pi } = \frac{1}{\pi }\left( {4{x^2} - 120x + 900} \right)\) (cm2).

Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn được uốn thành là:

\(S = {S_1} + {S_2} = {x^2} + \frac{1}{\pi }\left( {4{x^2} - 120x + 900} \right) = \left( {1 + \frac{4}{\pi }} \right){x^2} - \frac{{120}}{\pi }x + \frac{{900}}{\pi }\)  (cm2).

Nhận thấy \(S\) là hàm số bậc hai của \(x\), do đó \(S\) nhỏ nhất tại đỉnh của đồ thị hàm số \(S = \left( {1 + \frac{4}{\pi }} \right){x^2} - \frac{{120}}{\pi }x + \frac{{900}}{\pi }\).

Khi đó, tổng diện tích của hình vuông và hình tròn được uốn nhỏ nhất khi\(x =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{\frac{{ - 120}}{\pi }}}{{2\left( {1 + \frac{4}{\pi }} \right)}} = \frac{{60}}{{4 + \pi }}\) (cm).

Vậy chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông lúc này bằng \(4x = 4.\frac{{40}}{{4 + \pi }} \approx 33,61\) (cm).

Đáp án đúng là: B

Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - x - 6\) có hai nghiệm là \({x_1} =  - 2\), \({x_2} = 3\).

Mặt khác có hệ số \(a = 1 > 0\), do đó ta có bảng xét dấu sau:

 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy \(f\left( x \right) = {x^2} - x - 6 \le 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left[ { - 2;\,\,3} \right]\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left[ { - 2;\,\,3} \right]\).