Một sợi dây kim loại dài 60 cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành một hình vuông, đoạn thứ hai được uốn thành một vòng tròn. Khi tổng diện tích của hình vuông và hình tròn ở trên là nhỏ nhất thì chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Từ điều kiện ta có \({x^2} + {y^2} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + {{\left( {x - y} \right)}^2}}}{2} = 5 - {z^2} \Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 10 - 2{z^2} - {\left( {3 - z} \right)^2}\).

Do đó \({\left( {x + y} \right)^2} = 1 + 6z - 3{z^2}\).

Dễ thấy \(z \ne  - 2\). Ta có \(P.\left( {z + 2} \right) + 2 = x + y\).

Do đó \({\left[ {P.\left( {z + 2} \right) + 2} \right]^2} = 1 + 6z - 3{z^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {z + 2} \right)^2}{P^2} + 4\left( {z + 2} \right)P + 4 = 1 + 6z - 3{z^2}\)

\( \Leftrightarrow \left( {{P^2} + 3} \right){z^2} + \left( {4{P^2} + 4P - 6} \right)z + 4{P^2} + 8P + 3 = 0\)

Phương trình ẩn \(z\) có nghiệm khi và chỉ khi \({\Delta '_z} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2{P^2} + 2P - 3} \right)^2} - \left( {{P^2} + 3} \right)\left( {4{P^2} + 8P + 3} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 4{P^4} + 4{P^2} + 9 + 8{P^3} - 12{P^2} - 12P - \left( {4{P^4} + 8{P^3} + 3{P^2} + 12{P^2} + 24P + 9} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 23{P^2} + 36P \le 0\)

\( \Leftrightarrow  - \frac{{36}}{{23}} \le P \le 0\) (áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai).

Ta có \(P = 0\) khi \[x = 2,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}z = 1\]  và \(P =  - \frac{{36}}{{23}}\) khi \(x = \frac{{20}}{{31}},\,\,y =  - \frac{{66}}{{31}},\,\,z = \frac{7}{{31}}\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là 0 tại \[x = 2,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}z = 1\].

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm; \(\overrightarrow n  = \left( {A;\,\,B} \right)\) là VTPT của \(\Delta \) \(\left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right)\).

Đường thẳng \(\left( d \right)\): \(x + 3y - 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1;\,\,3} \right)\).

Để \(\Delta \) tạo với \(\left( d \right)\) một góc \(45^\circ \) thì:

\(\cos 45^\circ  = \frac{{\left| {A + 3B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt {10} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) \( \Leftrightarrow 2{\left( {A + 3B} \right)^2} = 10\left( {{A^2} + {B^2}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 2B\\B =  - 2A\end{array} \right.\) .

+ Với \(A = 2B\), chọn \(B = 1 \Rightarrow A = 2\) ta được phương trình \(\Delta :\,2x + y + 4 = 0\).

+ Với \(B =  - 2A\), chọn \(A = 1 \Rightarrow B =  - 2\) ta được phương trình \(\Delta :\,x - 2y + 2 = 0\).