Một sợi dây kim loại dài 60 cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành một hình vuông, đoạn thứ hai được uốn thành một vòng tròn. Khi tổng diện tích của hình vuông và hình tròn ở trên là nhỏ nhất thì chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Gọi cạnh hình vuông được uốn thành là \(x\) (cm) \(\left( {0 < x < 15} \right)\).

Chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông hay chính là chu vi của hình vuông là \(4x\) (cm).

Chiều dài đoạn dây uốn thành vòng tròn hay chính là chu vi vòng tròn là \(60 - 4x\) (cm). Khi đó bán kính của hình tròn là \(r = \frac{{60 - 4x}}{{2\pi }} = \frac{{30 - 2x}}{\pi }\) (cm).

Diện tích hình vuông được uốn thành là \({S_1} = {x^2}\) (cm2).

Diện tích hình tròn được uốn thành là

\({S_2} = \pi {r^2} = \pi .{\left( {\frac{{30 - 2x}}{\pi }} \right)^2} = \frac{{{{\left( {30 - 2x} \right)}^2}}}{\pi } = \frac{1}{\pi }\left( {4{x^2} - 120x + 900} \right)\) (cm2).

Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn được uốn thành là:

\(S = {S_1} + {S_2} = {x^2} + \frac{1}{\pi }\left( {4{x^2} - 120x + 900} \right) = \left( {1 + \frac{4}{\pi }} \right){x^2} - \frac{{120}}{\pi }x + \frac{{900}}{\pi }\)  (cm2).

Nhận thấy \(S\) là hàm số bậc hai của \(x\), do đó \(S\) nhỏ nhất tại đỉnh của đồ thị hàm số \(S = \left( {1 + \frac{4}{\pi }} \right){x^2} - \frac{{120}}{\pi }x + \frac{{900}}{\pi }\).

Khi đó, tổng diện tích của hình vuông và hình tròn được uốn nhỏ nhất khi\(x =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{\frac{{ - 120}}{\pi }}}{{2\left( {1 + \frac{4}{\pi }} \right)}} = \frac{{60}}{{4 + \pi }}\) (cm).

Vậy chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông lúc này bằng \(4x = 4.\frac{{40}}{{4 + \pi }} \approx 33,61\) (cm).