Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 4 = 0\). Bán kính của đường tròn là

Đổi: 300 m = 0,3 km; 1 400 m = 1,4 km; 20 phút = \(\frac{1}{3}\) giờ.

Đặt \(BM = x\) (km, \(x > 0\)).

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông \(ABM\), ta suy ra \(AM = \sqrt {{{0,3}^2} + {x^2}} \) (km).

Thời gian người đó chèo thuyền từ \(A\) đến \(M\) là \(\frac{{\sqrt {{{0,3}^2} + {x^2}} }}{3}\) (giờ).

Ta có: \(BM + MC = BC \Rightarrow MC = BC - BM = 1,4 - x\) (km).

Thời gian người đó đi bộ từ \(M\) đến \(C\) là \(\frac{{1,4 - x}}{6}\) (giờ).

Khi đó ta có: \(\frac{{\sqrt {{{0,3}^2} + {x^2}} }}{3} + \frac{{1,4 - x}}{6} = \frac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow 2\sqrt {0,09 + {x^2}}  = x + 0,6\).

Giải phương trình trên ta suy ra được \(x = 0,4\) là giá trị thỏa mãn \(x > 0\).

Vậy \(BM = 0,4\) km = 400 m.

Ta có: \(3{x^2} - 2\left( {m + 5} \right)x - {m^2} + 2m + 8 \le 0\) (1).

Ta có: \(3{x^2} - 2\left( {m + 5} \right)x - {m^2} + 2m + 8 = 0 \Leftrightarrow x = m + 2\) hoặc \(x = \frac{{4 - m}}{3}\).

* Với \(m + 2 > \frac{{4 - m}}{3} \Leftrightarrow 3m + 6 > 4 - m \Leftrightarrow m >  - \frac{1}{2}\) ta có:

Bất phương trình (1) \( \Leftrightarrow \frac{{4 - m}}{3} \le x \le m + 2\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là \(\left[ {\frac{{4 - m}}{3};m + 2} \right]\).

Suy ra mọi \[x \in \left[ { - 1;1} \right]\] đều là nghiệm của bất phương trình (1)

khi và chỉ khi \[\left[ { - 1;1} \right] \subset \left[ {\frac{{4 - m}}{3};m + 2} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1 \ge \frac{{4 - m}}{3}}\\{1 \le m + 2}\end{array}} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge 7}\\{m \ge  - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \ge 7\).

Kết hợp với điều kiện \(m >  - \frac{1}{2}\) ta có \(m \ge 7\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* Với \(m + 2 < \frac{{4 - m}}{3} \Leftrightarrow m <  - \frac{1}{2}\) ta có:

Bất phương trình (1) \( \Leftrightarrow m + 2 \le x \le \frac{{4 - m}}{3}\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là \(\left[ {m + 2;\frac{{4 - m}}{3}} \right]\).

Suy ra mọi \[x \in \left[ { - 1;1} \right]\] đều là nghiệm của bất phương trình (1)

khi và chỉ khi \[\left[ { - 1;1} \right] \subset \left[ {m + 2;\frac{{4 - m}}{3}} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1 \ge m + 2}\\{1 \le \frac{{4 - m}}{3}}\end{array}} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le  - 3}\\{m \le 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \le  - 3\).

Kết hợp với điều kiện \(m <  - \frac{1}{2}\) ta có \(m \le  - 3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* Với \(m =  - \frac{1}{2}\) ta có bất phương trình (1) \( \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} > 1\) nên \(m =  - \frac{1}{2}\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy \(m \in ( - \infty ; - 3] \cup {\rm{[}}7; + \infty )\) là giá trị cần tìm.