Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?

i) Hình hộp đứng có đáy là hình vuông là hình lập phương.

ii) Hình hộp chữ nhật có tất cả các mặt là hình chữ nhật.

iii) Hình lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc với đáy.

iv) Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau là hình lập phương.

Đáp án đúng là: D

Gọi \(E\) là trung điểm của \(BD\).

Khi đó ta có \(ME,\,\,NE\) lần lượt là đường trung bình của các tam giác \(BCD,\,\,ABD\).

Suy ra \(ME{\rm{//}}CD,\,NE{\rm{//}}AB\). Do đó, \(\left( {AB,\,CD} \right) = \left( {NE,\,ME} \right)\).

Ta có \(ME = \frac{{CD}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a,\,\,NE = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\).

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác \(MNE\) ta có

\(\cos \widehat {MEN} = \frac{{M{E^2} + N{E^2} - M{N^2}}}{{2ME \cdot NE}} = \frac{{{a^2} + {a^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2 \cdot a \cdot a}} = \frac{{ - 1}}{2}\).

Suy ra \(\widehat {MEN} = 120^\circ \).

Khi đó, \(\left( {NE,\,ME} \right) = 180^\circ - \widehat {MEN} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).

Vậy \(\left( {AB,\,CD} \right) = 60^\circ \).

a) Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), mà \(BC \subset \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot SA\).

Và \(BC \bot AB\) (do \(ABCD\) là hình vuông).

Mà \(SA,AB \subset \left( {SAB} \right)\). Vậy \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).

b) Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), mà \(BD \subset \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow SA \bot BD\).

Và \(BD \bot AC\) (do \(ABCD\) là hình vuông).

Mà \(SA,AC \subset \left( {SAC} \right)\).

Suy ra \(BD \bot \left( {SAC} \right)\).

Mặt khác ta có: \(BD \subset \left( {SBD} \right)\).

Vậy \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).