III. Hướng dẫn giải tự luận

(1,0 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{{{6^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }} \cdot {3^{1 + \sqrt 5 }}}}\).

b) Năm \(2023\), một hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe \(X\) là \(750\,\,000\,\,000\) đồng và dự định trong \(10\) năm tiếp theo, mỗi năm giảm \(1,8\% \) giá bán của năm liền trước. Theo dự định đó, năm \(2030\) hãng xe ô tô niêm yết giá bán xe \(X\) là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng nghìn)?

Đáp án đúng là: A

Ta có \(6{\log _4}a - 3{\log _2}\sqrt[3]{b} - {\log _{\frac{1}{2}}}c\)\( = 6{\log _{{2^2}}}a - 3{\log _2}{b^{\frac{1}{3}}} - {\log _{{2^{ - 1}}}}c\)

\( = 6.\frac{1}{2}{\log _2}a - 3.\frac{1}{3}{\log _2}b + {\log _2}c\)\( = 3{\log _2}a - {\log _2}b + {\log _2}c\)\( = \left( {{{\log }_2}{a^3} - {{\log }_2}b} \right) + {\log _2}c\)\( = {\log _2}\frac{{{a^3}c}}{b}\).

Suy ra \(x = \frac{{{a^3}c}}{b}\).

Theo dự kiến, cần 24 tháng để hoàn thành công trình. Vậy khối lượng công việc trên một tháng theo dự tính là \(\frac{1}{{24}}\) (công trình).

Khối lượng công việc của tháng thứ 2 là \({T_2} = \frac{1}{{24}} + 0,04 \cdot \frac{1}{{24}} = \frac{1}{{24}}{\left( {1 + 0,04} \right)^1}\).

Khối lượng công việc của tháng thứ 3 là

\({T_3} = \left( {\frac{1}{{24}} + 0,04 \cdot \frac{1}{{24}}} \right) + 0,04 \cdot \left( {\frac{1}{{24}} + 0,04 \cdot \frac{1}{{24}}} \right) = \frac{1}{{24}}{\left( {1 + 0,04} \right)^2}\).

Như vậy, khối lượng công việc của tháng thứ \(n\) là \({T_n} = \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^{n - 1}}\).

Ta có \(\frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^0} + \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^1} + ... + \frac{1}{{24}} \cdot {\left( {1 + 0,04} \right)^{n - 1}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{24}} \cdot \frac{{1 - {{\left( {1 + 0,04} \right)}^n}}}{{1 - \left( {1 + 0,04} \right)}} = 1 \Leftrightarrow {\left( {1 + 0,04} \right)^n} = \frac{{49}}{{25}} \Leftrightarrow n = {\log _{1 + 0,04}}\frac{{49}}{{25}} \approx 17,2\).

Vậy công trình sẽ hoàn thành ở tháng thứ 18 từ khi khởi công.