III. Hướng dẫn giải tự luận

(1,0 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{{{6^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }} \cdot {3^{1 + \sqrt 5 }}}}\).

b) Năm \(2023\), một hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe \(X\) là \(750\,\,000\,\,000\) đồng và dự định trong \(10\) năm tiếp theo, mỗi năm giảm \(1,8\% \) giá bán của năm liền trước. Theo dự định đó, năm \(2030\) hãng xe ô tô niêm yết giá bán xe \(X\) là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng nghìn)?

a) (0,5 điểm)

Ta có \(P = \frac{{{6^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }} \cdot {3^{1 + \sqrt 5 }}}} = \frac{{{{\left( {2 \cdot 3} \right)}^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }} \cdot {3^{1 + \sqrt 5 }}}} = \frac{{{2^{3 + \sqrt 5 }} \cdot {3^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }} \cdot {3^{1 + \sqrt 5 }}}}\)

                \( = {2^{\left( {3 + \sqrt 5 } \right) - \left( {2 + \sqrt 5 } \right)}} \cdot {3^{\left( {3 + \sqrt 5 } \right) - \left( {1 + \sqrt 5 } \right)}} = {2^1} \cdot {3^2} = 18.\)

b) (0,5 điểm)

Giá bán xe năm đầu tiên: \[{A_1} = 750\,\,000\,\,000\] đồng.

Giá bán xe năm thứ hai: \({A_2} = {A_1} - {A_1} \cdot r = {A_1}\left( {1 - r} \right)\) đồng, với \(r = 1,8\% \).

Giá bán xe năm thứ ba: \({A_3} = {A_2} - {A_2}r = {A_2}\left( {1 - r} \right) = {A_1}{\left( {1 - r} \right)^2}\) đồng.

…

Giá bán xe năm thứ \(n\): \({A_n} = {A_1}{\left( {1 - r} \right)^{n - 1}}\) đồng.

Vậy giá bán xe năm thứ 8 (năm 2030) là:

\({A_6} = {A_1}{\left( {1 - r} \right)^7} = 750\,\,000\,\,000{\left( {1 - 1,8\% } \right)^7} \approx 660\,\,453\,\,000\) đồng.