(1,0 điểm) Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác \[ABC\] vuông cân tại \[B\], \[SA \bot \left( {ABC} \right)\]. Gọi \[H\] là hình chiếu của \[A\] lên \[SB\]. Chứng minh rằng \[AH \bot \left( {SBC} \right)\].

Đáp án đúng là: A

Ta có \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\), \(S{A^2} + S{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\).

Do đó \(A{C^2} = S{A^2} + S{C^2}\). Từ đó suy ra tam giác \(SAC\) vuông tại \(S\) hay \(SA \bot SC\). (1)

Vì \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(AD,\,\,SD\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAD\), do đó \(MN{\rm{//}}SA\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(MN \bot SC\).

Đáp án đúng là: B

+ Vì \[SA\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] nên \[A\] là hình chiếu vuông góc của \[S\] lên \[\left( {ABCD} \right).\] Vậy đáp án A đúng.

+ Vì \(SA \subset \left( {SAB} \right)\) nên đáp án B sai.

+ Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\), do đó \[B\] là chiếu vuông góc của \[C\] lên \[\left( {SAB} \right).\] Vậy đáp án C đúng.

+ Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\), do đó \[D\] là chiếu vuông góc của \[C\] lên \[\left( {SAD} \right).\] Vậy đáp án D đúng.