III. Hướng dẫn giải tự luận

(1 điểm) Cho \({\log _a}x = 4\) và \({\log _b}x = 5\). Tính giá trị của biểu thức \(P = 3{\log _{ab}}x + {\log _{\frac{a}{b}}}x\) .

Sử dụng công thức \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\)

Ta có \(P = 3{\log _{ab}}x + {\log _{\frac{a}{b}}}x = \frac{3}{{{{\log }_x}ab}} + \frac{1}{{{{\log }_x}\frac{a}{b}}} = \frac{3}{{{{\log }_x}a + {{\log }_x}b}} + \frac{1}{{{{\log }_x}a - {{\log }_x}b}}\)

        \( = \frac{3}{{\frac{1}{{{{\log }_a}x}} + \frac{1}{{{{\log }_b}x}}}} + \frac{1}{{\frac{1}{{{{\log }_a}x}} - \frac{1}{{{{\log }_b}x}}}} = \frac{3}{{\frac{1}{4} + \frac{1}{5}}} + \frac{1}{{\frac{1}{4} - \frac{1}{5}}} = \frac{{80}}{3}\).