Có bao nhiêu số tự nhiên có 2018 chữ số sao cho trong mỗi số tổng các chữ số bằng 5?

Vì \(5 = 5 + 0 = 4 + 1 = 3 + 2 = 2 + 2 + 1 = 3 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1\) nên ta có các trường hợp sau:

+) Trường hợp 1: Số tự nhiên có một chữ số 5 đứng đầu và 2017 chữ số 0 đứng sau: Có 1 số.

+) Trường hợp 2: Số tự nhiên có một chữ số 4, một chữ số 1 và 2016 chữ số 0.

- Khả năng 1: Nếu chữ số 4 đứng đầu thì chữ số 1 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^1\) số.

- Khả năng 2: Nếu chữ số 1 đứng đầu thì chữ số 4 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^1\) số.

+) Trường hợp 3: Số tự nhiên có một chữ số 3, một chữ số 2 và 2016 chữ số 0.

- Khả năng 1: Nếu chữ số 3 đứng đầu thì chữ số 2 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^1\) số.

- Khả năng 2: Nếu chữ số 2 đứng đầu thì chữ số 3 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^1\) số.

+) Trường hợp 4: Số tự nhiên có hai chữ số 2, một chữ số 1 và 2015 chữ số 0.

- Khả năng 1: Nếu chữ số 2 đứng đầu thì chữ số 1 và chữ số 2 còn lại đứng ở hai trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \(A_{2017}^2\) số.

- Khả năng 2: Nếu chữ số 1 đứng đầu thì hai chữ số 2 đứng ở hai trong \(2017\) vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^2\) số.

+) Trường hợp 5: Số tự nhiên có 2 chữ số \(1\), một chữ số 3 và 2015 chữ số 0 thì tương tự như trường hợp 4 ta có \(A_{2017}^2 + C_{2017}^2\) số.

+) Trường hợp 6: Số tự nhiên có một chữ số 2, ba chữ số 1 và 2014 chữ số 0.

- Khả năng 1: Nếu chữ số 2 đứng đầu thì ba chữ số 1 đứng ở ba trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^3\)số.

- Khả năng 2: Nếu chữ số 1 đứng đầu và chữ số 2 đứng ở vị trí mà không có chữ số 1 nào khác đứng trước nó thì hai chữ số 1 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có \(C_{2016}^2\) số.

- Khả năng 3: Nếu chữ số 1 đứng đầu và chữ số 2 đứng ở vị trí mà đứng trước nó có hai chữ số 1 thì hai chữ số 1 và 2 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có \(A_{2016}^2\) số.

+) Trường hợp 7: Số tự nhiên có năm chữ số 1 và \(2013\) chữ số 0, vì chữ số 1 đứng đầu nên bốn chữ số 1 còn lại đứng ở bốn trong 2017 vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^4\) số.

Áp dụng quy tắc cộng ta có \(1 + 4C_{2017}^1 + 2\left( {C_{2017}^2 + A_{2017}^2} \right) + \left( {C_{2017}^3 + A_{2016}^2 + C_{2016}^2} \right) + C_{2017}^4\) số cần tìm.