(4,0 điểm)

Để làm một mô hình cái bút chì trang trí, người ta dùng một khối gỗ hình trụ và một khối gỗ hình nón có cùng đường kính đáy chồng khít lên nhau. Khối gỗ hình trụ có đường kính đáy là \(20cm\), chiều cao là \(30cm\). Khối gỗ hình nón có chiều cao là \(15cm\). Tính thể tích gỗ cần dùng để làm mô hình này.

a) . Chứng minh: Tứ giác \(PHIB\) nội tiếp.

Ta có \(\widehat {AHB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \widehat {PHB} = 90^\circ \) (kề bù với \(\widehat {AHB} = 90^\circ \)); \(\widehat {PIB} = 90^\circ \) (GT) \( \Rightarrow H,I\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(PB \Rightarrow \) tứ giác \(PHIB\) nội tiếp đường tròn đường kính \(PB\).

b) . Chứng minh: \(AH.AP = AI.AB\).

Xét \(\Delta AHI\) và \(\Delta ABP\) có:

\(\widehat {HAI}\) chung;

\(\widehat {AHI} = \widehat {ABP}\) (cùng bù với \(\widehat {PHI}\) do tứ giác \(PHIB\) nội tiếp)

.

c) . Gọi \(K\) là giao điểm của đường thẳng \(AE\) và \(BP\). Kẻ \(KM \bot AB\) cắt \(AB\) tại \(M\), cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(N\) . Chứng minh \(N,I,H\) thẳng hàng.

Tứ giác \(PHIB\) nội tiếp nên \(\widehat {HIP} = \widehat {HBP}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn ) (1);

Tam giác \(ABP\) có hai đường cao \(PI,BH\) cắt nhau tại \(E \Rightarrow E\) là trực tâm của \(\Delta ABP \Rightarrow AE \bot BP\) hay \(AK \bot BP \Rightarrow \widehat {EKB} = 90^\circ \), mà \(\widehat {EIB} = 90^\circ \) (GT)\( \Rightarrow \) tứ giác \(BKEI\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BE\) \( \Rightarrow \widehat {EIK} = \widehat {HBP}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn ) (2);

Mà \(\widehat {EKB} = 90^\circ \)\( \Rightarrow K \in \left( O \right)\), lại có \(AB \bot KN\) tại \(M\) \( \Rightarrow MK = MN\)(quan hệ vuông góc đường kính và dây) \( \Rightarrow \Delta IMK = \Delta IMN\left( {c.g.c} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {MIK} = \widehat {MIN} \Rightarrow 90^\circ  - \widehat {MIK} = 90^\circ  - \widehat {MIN}\) \( \Rightarrow \widehat {EIK} = \widehat {DIN}\)(3);

Từ (1), (2), (3) ta có \(\widehat {HIP} = \widehat {DIN}\left( { = \widehat {HBP} = \widehat {EIK}} \right) \Rightarrow \widehat {HIP} + \widehat {PIN} = \widehat {DIN} + \widehat {PIN} = \widehat {PID} = 180^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {HIN} = 180^\circ  \Rightarrow H,I,N\) thẳng hàng.