Bút chì có dạng hình trụ, có đường kính đáy 8mm và chiều cao bằng 180mm. Thân bút chì được làm bằng gỗ, phần lõi được làm bằng than chì. Phần lõi có dạng hình trụ có chiều cao bằng chiều dài bút và đáy là hình tròn có đường kính 2mm. Tính thể tích phần gỗ của 2024 chiếc bút chì (lấy \(\pi  = 3,14\)).

Cho nửa đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB\). Gọi \(M\) là điểm chính giữa cung \(AB\), \(E\) là điểm trên cung \(AM\) (\(E\) khác \(A\) và \(M\)). Lấy điểm \(F\) trên đoạn \(BE\) sao cho \(BF = AE\). Gọi \(K\) là giao điểm của \(MO\) và \(BE\).

a)   Chứng minh rằng \(EAOK\) là tứ giác nội tiếp.

b)   Chứng minh rằng \[\Delta EMF\] vuông cân.

c)   Hai đường thẳng \(AE\) và \(OM\) cắt nhau tại \(D\). Chứng minh rằng \(MK.ED = MD.EK\).

Một khu vườn hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài \(45m\). Tính diện tích của khu vườn, biết rằng nếu chiều dài giảm 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì chu vi khu vườn không thay đổi.

Cho hàm số \(y = {x^2}\) có đồ thị là đường parabol \(\left( P \right)\) và hàm số \(y = 4mx + 5\) có đồ thị là đường thẳng \(\left( d \right)\), với \(m\) là tham số.

a)   Tìm các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) và đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) song song với nhau, với \(\left( \Delta  \right)\) là đồ thị của hàm số \(y = \left( {5 - m} \right)x - 3\).

b)   Tìm các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thoả mãn \(x_2^2 + 4m{x_1} = 105\).

Cho biểu thức \(A = {\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)^2}.\left( {\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{{\sqrt x  + 1}}{{1 - \sqrt x }}} \right)\) với \(x > 0\) và \(x \ne 1\).

a)   Rút gọn biểu thức \(A\).

b)   Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(A \ge 0\).