Bút chì có dạng hình trụ, có đường kính đáy 8mm và chiều cao bằng 180mm. Thân bút chì được làm bằng gỗ, phần lõi được làm bằng than chì. Phần lõi có dạng hình trụ có chiều cao bằng chiều dài bút và đáy là hình tròn có đường kính 2mm. Tính thể tích phần gỗ của 2024 chiếc bút chì (lấy \(\pi  = 3,14\)).

Hình vẽ

a)Ta có: \(\widehat {AEK} = \widehat {AEB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), \(\widehat {AOK} = \widehat {AOM} = 90^\circ \) (\(M\) là điểm chính giữa của cung \(AB\)).

\(\widehat {AEK} + \widehat {AOK} = 180^\circ \) nên \(EAOK\) là tứ giác nội tiếp.

b)Xét \(\Delta AEM\) và \(\Delta BFM\) có:

\(AE = BF\) (giả thiết), \(AM = BM\) (giả thiết), \(\widehat {EAM} = \widehat {MBF}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(EM\))

\( \Rightarrow \Delta AEM = \Delta BFM\) (c-g-c)\( \Rightarrow EM = FM\)\( \Rightarrow \Delta MEF\) cân tại \(M\)

Mặt khác \(\widehat {MEF} = \widehat {MEB} = \frac{1}{2}\widehat {MOB} = 45^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta MEF\) vuông cân tại \(M\).

c)Ta có: \(\widehat {MEF} = 45^\circ \) (\(\Delta MEF\) vuông cân tại \(M\)), mà \(\widehat {KED} = \widehat {KEA} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {DEM} = 45^\circ \)

\( \Rightarrow EM\) là phân giác của \(\widehat {DEK}\)

a)Ta có: \(\left( d \right){\rm{//}}\left( \Delta  \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m = 5 - m\\5 \ne  - 3\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow m = 1\).

Vậy \(m = 1\) thì hai đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\left( \Delta  \right)\) song song với nhau.

b)Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là:

\({x^2} = 4mx + 5\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 4mx - 5 = 0\) (*)

Ta có: \(a = 1,c =  - 5;ac =  - 5 < 0\) nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) với mọi giá trị của tham số \(m\).

Theo hệ thức Vi-et ta có \({x_1} + {x_2} = 4m\), vì \({x_2}\) là nghiệm của phương trình (*) nên  \(x_2^2 = 4m{x_2} + 5\).

Ta có: \(x_2^2 + 4m{x_1} = 105 \Leftrightarrow 4m{x_2} + 5 + 4m{x_1} = 105\)