(1,5 điểm) Cho hai biểu thức \(A = 1 - \frac{1}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{3}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

với \(x > 0,  x \ne 1\)

1)    Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 4\).

2)    Rút gọn biểu thức \(P = B\;.\;A\)

3)    Tìm các giá trị của \(x\) để \(P\) nhận giá trị nguyên.

1)    Thay \(x = 4\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\), ta được \(A = 1 - \frac{1}{{\sqrt 4 }} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)

2)    Ta có \(B = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) - \left( {\sqrt x  + 3} \right) + 3}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)\( = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

3) Xét \(P = B. A\)\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }}\)\( = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 3}}\)

Xét \(P = 0\) hay \(\sqrt x  - 2 = 0\)\( \Rightarrow x = 4\) (thỏa mãn)

Xét \(P \ne 0\). Có \(P = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 3}} = 1 - \frac{5}{{\sqrt x  + 3}}\).

Để \(P\) nhận giá trị nguyên thì \(\frac{5}{{\sqrt x  + 3}}\) nhận giá trị nguyên

Vì \(x > 0\)nên \(\frac{5}{{\sqrt x  + 3}} > 0\)                        \(\left( 1 \right)\)

Mặt khác \(\sqrt x  + 3 \ge 3\) nên \(\frac{5}{{\sqrt x  + 3}} \le \frac{5}{3}\)           \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),  \left( 2 \right)\)suy ra :

\(0 < \frac{5}{{\sqrt x  + 3}} \le \frac{5}{3}\)\( \Rightarrow \frac{5}{{\sqrt x  + 3}} = 1\)

\( \Rightarrow \sqrt x  + 3 = 5\)

\( \Rightarrow \sqrt x  = 2\)

Nên \(x = 4\)(thỏa mãn)