(1,5 điểm)  Cho hai biểu thức: \(A = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 3}}\) ; \(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{2\sqrt x  + 4}}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\)

                        a) Tính giá trị của \[A\] khi \[x = 4.\]                       

                        b) Rút gọn \[B\]

                        c) Tìm \[x\] để \(A.B \le \frac{1}{2}\)

a) Thay \[x = 4\] (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \[A\] ta có: \(A = \frac{{\sqrt 4  + 1}}{{\sqrt 4  + 3}} = \frac{3}{5}\)  

        Vậy giá trị của biểu thức \(A\) tại \(x = 4\) là: \(\frac{3}{5}\)

                        b)  Ta có: \(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{2\sqrt x  + 4}}{{x - 1}}\)

\[ = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{2\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} + \frac{{2\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) - \left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right) + 2\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{2x - 2\sqrt x  - x - 2\sqrt x  - \sqrt x  - 2 + 2\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{x - 3\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}}\]

                        Vậy \[B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}}\] với \(x \ge 0;x \ne 1\).

        c) Ta có: \(A.B \le \frac{1}{2}\)

                         \(\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 3}} \cdot \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}} \le \frac{1}{2}\)

                                        \(\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 3}} \le \frac{1}{2}\)

                                 \(\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{1}{2} \le 0\)

                     \(\frac{{2\sqrt x  - 4 - \sqrt x  - 3}}{{2\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} \le 0\)

                                 \(\frac{{\sqrt x  - 7}}{{2\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} \le 0\)

                                 \(\sqrt x  - 7 \le 0\)  (Vì \(2\left( {\sqrt x  + 3} \right) > 0\))

\(\sqrt x  \le 7\)

\(x \le 49\)

                 Kết hợp điều kiện ta có: \(0 \le x \le 49;\,\,\,x \ne 1\).

                 Vậy \(0 \le x \le 49;\,\,\,x \ne 1\) thì \(A.B \le \frac{1}{2}\).