Cho phương trình \[{x^2} + 2mx + {m^2} + m - 2 = 0\,\,\left( 1 \right)\] (m là tham số). Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm \[{x_1}\], \[{x_2}\] sao cho biểu thức P  đạt giá trị lớn nhất với \[P =  - x_1^2 + \left( {2m + 3} \right){x_2} + 3{x_1} + {x_1}{x_2}.\]

a) Vì IA, IC là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\] với tiếp điểm lần lượt là A, C nên \[\widehat {IAO} = \widehat {ICO} = 90^\circ .\]

Xét tứ giác OAIC ta có \[\widehat {IAO} + \widehat {ICO} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ .\]

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác OAIC nội tiếp               (1)

b) Xét \[\Delta \,ICD\] và \[\Delta \,IBC\]ta có

         \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\] (góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung CD).

         \[\widehat {{I_1}}\] chung

Nên \[\Delta \,IBC\](g.g)

Suy ra \[\frac{{IC}}{{IB}} = \frac{{ID}}{{IC}}\]hay \[I{C^2} = IB\,\,.\,\,ID \Rightarrow \] điều phải chứng minh.

c) Vì M là trung điểm của BD nên \[OM \bot BD\] (Liên hệ giữa đường kính và dây cung)     (2)

Suy ra \[\widehat {OMI} = 90^\circ \]

Ta có \[\widehat {OMI} + \widehat {OCI} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ .\]

Mà hai góc này ở vị tí đối diện nên tứ giác OMIC nội tiếp               (3)

Từ (1) và (3) suy ra năm điểm O, M, A, I, C cùng thuộc một đường tròn.

Suy ra tứ giác AMCI nội tiếp.

Suy ra \[\widehat {{I_2}} = \widehat {{C_2}}\] (Hai góc cùng nhìn cạnh AM)

Ta có \[\widehat {{C_2}} = \widehat {{A_2}}\] (Góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AE).

Suy ra \[\widehat {{I_2}} = \widehat {{A_2}}\] mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \[AE\,{\rm{//}}\,BD & \left( 4 \right).\]

Từ (2) và (4) suy ra \[OM \bot AE \Rightarrow \]điều phải chứng minh.