Cho phương trình \[{x^2} + 2mx + {m^2} + m - 2 = 0\,\,\left( 1 \right)\] (m là tham số). Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm \[{x_1}\], \[{x_2}\] sao cho biểu thức P  đạt giá trị lớn nhất với \[P =  - x_1^2 + \left( {2m + 3} \right){x_2} + 3{x_1} + {x_1}{x_2}.\]

Ta có: \[\Delta ' = {m^2} - {m^2} - m + 2 =  - m + 2\]

Để phương trình (1) có hai nghiệm \[{x_1}\], \[{x_2}\] \[ \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow  - m + 2 \ge 0 \Leftrightarrow m \le 2.\]

Áp dụng định lý Vi – ét \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2m &  & \left( 2 \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} + m - 2 & \left( 3 \right)\end{array} \right.\]

Do \[{x_1}\] là nghiệm của phương trình (1) nên ta có:

\[x_1^2 + 2m{x_1} + {m^2} + m - 2 = 0 \Leftrightarrow  - x_1^2 = 2m{x_1} + {m^2} + m - 2\] thay vào biểu thức P ta có:

\[\begin{array}{c}P = 2m{x_1} + {m^2} + m - 2 + \left( {2m + 3} \right){x_2} + 3{x_1} + {x_1}{x_2}\\ = 2m{x_1} + {m^2} + m - 2 + 2m{x_2} + 3{x_2} + 3{x_1} + {x_1}{x_2}\\ = \left( {2m + 3} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} + {m^2} + m - 2.\end{array}\]

Thay \[(2),\left( 3 \right)\]vào P ta có:

\[\begin{array}{c}P = \left( {2m + 3} \right)\left( { - 2m} \right) + {m^2} + m - 2 + {m^2} + m - 2.\\ =  - 4{m^2} - 6m + 2{m^2} + 2m - 4\\ =  - 2{m^2} - 4m - 4\\ =  - 2{\left( {m + 1} \right)^2} - 2.\end{array}\]

Vì \[{\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow  - 2{\left( {m + 1} \right)^2} - 2 \le  - 2.\]

Dâu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi \[m + 1 = 0 \Leftrightarrow m =  - 1\] (thỏa mãn điều kiện).

Vậy \[m =  - 1.\]