Cho \[\Delta \,ABC\]có ba góc nhọn \[\left( {BA < BC} \right)\]và nội tiếp đường tròn tâm O. Hai tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] tại A và C cắt nhau tại I. Tia BI cắt đường tròn \[\left( O \right)\]tại điểm thứ hai là D.

a) Chứng minh rằng tứ giác OAIC nội tiếp;

b) Chứng minh \[I{C^2} = IB\,.\,ID;\]

b) Gọi M là trung điểm của BD. Tia CM cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm thứ hai là E. Chứng minh rằng \[MO \bot AE.\]

a) Vì IA, IC là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\] với tiếp điểm lần lượt là A, C nên \[\widehat {IAO} = \widehat {ICO} = 90^\circ .\]

Xét tứ giác OAIC ta có \[\widehat {IAO} + \widehat {ICO} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ .\]

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác OAIC nội tiếp               (1)

b) Xét \[\Delta \,ICD\] và \[\Delta \,IBC\]ta có

         \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\] (góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung CD).

         \[\widehat {{I_1}}\] chung

Nên \[\Delta \,IBC\](g.g)

Suy ra \[\frac{{IC}}{{IB}} = \frac{{ID}}{{IC}}\]hay \[I{C^2} = IB\,\,.\,\,ID \Rightarrow \] điều phải chứng minh.

c) Vì M là trung điểm của BD nên \[OM \bot BD\] (Liên hệ giữa đường kính và dây cung)     (2)

Suy ra \[\widehat {OMI} = 90^\circ \]

Ta có \[\widehat {OMI} + \widehat {OCI} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ .\]

Mà hai góc này ở vị tí đối diện nên tứ giác OMIC nội tiếp               (3)

Từ (1) và (3) suy ra năm điểm O, M, A, I, C cùng thuộc một đường tròn.

Suy ra tứ giác AMCI nội tiếp.

Suy ra \[\widehat {{I_2}} = \widehat {{C_2}}\] (Hai góc cùng nhìn cạnh AM)

Ta có \[\widehat {{C_2}} = \widehat {{A_2}}\] (Góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AE).

Suy ra \[\widehat {{I_2}} = \widehat {{A_2}}\] mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \[AE\,{\rm{//}}\,BD & \left( 4 \right).\]

Từ (2) và (4) suy ra \[OM \bot AE \Rightarrow \]điều phải chứng minh.