Cho \[\Delta \,ABC\]có ba góc nhọn \[\left( {BA < BC} \right)\]và nội tiếp đường tròn tâm O. Hai tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] tại A và C cắt nhau tại I. Tia BI cắt đường tròn \[\left( O \right)\]tại điểm thứ hai là D.

a) Chứng minh rằng tứ giác OAIC nội tiếp;

b) Chứng minh \[I{C^2} = IB\,.\,ID;\]

b) Gọi M là trung điểm của BD. Tia CM cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm thứ hai là E. Chứng minh rằng \[MO \bot AE.\]

Gọi số lượng sản phẩm loại A,loại B cửa hàng nhập về bán lần lượt là \[x,y\](sản phẩm).

Điều kiện: \[x,y < 10;\,\,x,y \in {\mathbb{N}^*}.\]

Vì tổng số sản phẩm loại A, B cửa hàng nhập về là 10 (sản phẩm) nên ta có phương trình: \[x + y = 10\left( 1 \right)\]

Tổng khối lượng của các sản phẩm loại A là \[9x\] (kg)

Tổng khối lượng của các sản phẩm loại B là \[10y\] (kg)

Vì tổng khối lượng của tất cả các sản phẩm là 95kg nên ta có phương trình: \[9x + 10y = 95\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 10\\9x + 10y = 95\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10x + 10y = 100\\9x + 10y = 95\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 10 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 5\end{array} \right.\]   (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số lượng sản phẩm loại A là 5 (sản phẩm), số lượng sản phẩm loại B là 5 (sản phẩm).

Quy ước: S: Là đồng xu xuất hiện mặt sấp.

               N: Là đồng xu xuất hiện mặt ngửa.

Do hai đồng xu là hai cá thể độc lập nên SN và NS là hai trường hợp khác nhau

⇒ Không gian mẫu của phép thử là \[\Omega  = \left\{ {SS;\,SN;NS;NN} \right\}\].

⇒ Số phần tử của không gian mẫu là: \[n\left( \Omega  \right) = 4.\]

Gọi A là biến cố: “Hai đồng xu xuất hiện mặt giống nhau” ⇒ \[A = \left\{ {SS;NN} \right\}\].

⇒ Số phần tử của biến cố A là: \[n\left( A \right) = 2\].

Vậy xác suất của biến cố A là: \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.\]