Một cửa hàng nhập 10 sản phẩm gồm hai loại A và B về bán. Biết mỗi sản phẩm loại A nặng 9kg, mỗi sản phẩm loại B nặng 10kg và tổng khối lượng của tất cả các sản phẩm là 95kg. Hỏi cửa hàng đã nhập bao nhiêu sản phẩm mỗi loại?

a) Vì IA, IC là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\] với tiếp điểm lần lượt là A, C nên \[\widehat {IAO} = \widehat {ICO} = 90^\circ .\]

Xét tứ giác OAIC ta có \[\widehat {IAO} + \widehat {ICO} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ .\]

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác OAIC nội tiếp               (1)

b) Xét \[\Delta \,ICD\] và \[\Delta \,IBC\]ta có

         \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\] (góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung CD).

         \[\widehat {{I_1}}\] chung

Nên \[\Delta \,IBC\](g.g)

Suy ra \[\frac{{IC}}{{IB}} = \frac{{ID}}{{IC}}\]hay \[I{C^2} = IB\,\,.\,\,ID \Rightarrow \] điều phải chứng minh.

c) Vì M là trung điểm của BD nên \[OM \bot BD\] (Liên hệ giữa đường kính và dây cung)     (2)

Suy ra \[\widehat {OMI} = 90^\circ \]

Ta có \[\widehat {OMI} + \widehat {OCI} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ .\]

Mà hai góc này ở vị tí đối diện nên tứ giác OMIC nội tiếp               (3)

Từ (1) và (3) suy ra năm điểm O, M, A, I, C cùng thuộc một đường tròn.

Suy ra tứ giác AMCI nội tiếp.

Suy ra \[\widehat {{I_2}} = \widehat {{C_2}}\] (Hai góc cùng nhìn cạnh AM)

Ta có \[\widehat {{C_2}} = \widehat {{A_2}}\] (Góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AE).

Suy ra \[\widehat {{I_2}} = \widehat {{A_2}}\] mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \[AE\,{\rm{//}}\,BD & \left( 4 \right).\]

Từ (2) và (4) suy ra \[OM \bot AE \Rightarrow \]điều phải chứng minh.