(0,5 điểm)  Một học sinh được giao thiết kế một cái hộp dạng hình hộp chữ nhật thỏa mãn: Tổng của chiều dài và chiều bằng 12cm ; tổng của của rộng và chiều cao là 24cm. Giáo viên yêu cầu học sinhấy phải thiết kế sao cho thể tích cái hộp lớn nhất, giá trị lớn nhất ấy bằng bao nhiêu ?

Gọi chiều rộng là \(x\left( {cm} \right)\left( {0 < x < 12} \right)\)

Chiều dài là \(12 - x\left( {cm} \right)\)

Chiều cao là \(24 - x\left( {cm} \right)\)

Ta có thể tích chiếc hộp là: \(V = x\left( {12 - x} \right)\left( {24 - x} \right)\left( {c{m^3}} \right)\)

Bất đẳng thức Cauchy 3 số không âm \(a,b,c\)ta có:  \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\)      

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\)

Thật vậy, đặt \(x = \sqrt[3]{a},y = \sqrt[3]{b},z = \sqrt[3]{c}\)\( \Rightarrow x,y,z \ge 0 \Rightarrow x + y + z \ge 0\)

Ta phái chứng minh:

\({x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\)

\({\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) + {z^3} - 3xyz \ge 0\)

\(\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - \left( {x + y} \right)z + {z^2}} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right) \ge 0\)

\(\left( {x + y + z} \right)\left[ {{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy - xz - yz} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right) \ge 0\)

\(\left( {x + y + z} \right)\left[ {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - xz - yz} \right] \ge 0\)

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - xz - yz \ge 0\)  (vì \(x + y + z \ge 0\))

\({\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - x} \right)^2} \ge 0\)\(\)(luôn đúng)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = z\) hay \(a = b = c\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm ta có:

\(V = x\left( {12 - x} \right)\left( {24 - x} \right)\left( {c{m^3}} \right)\)

\(\frac{1}{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}.x.\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {12 - x} \right)\left( {24 - x} \right)\)

\( \le \frac{1}{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}.{\left[ {\frac{{x + \left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {12 - x} \right) + \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {24 - x} \right)}}{3}} \right]^3}\)

\( = \frac{1}{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}.{\left[ {\frac{{x + 12\sqrt 3  - \sqrt 3 x - 12 + x + 48 - 2x - 24\sqrt 3  + \sqrt 3 x}}{3}} \right]^3}\)

\( = \frac{1}{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}.{\left[ {\frac{{36 - 12\sqrt 3 }}{3}} \right]^3} = 384\sqrt 3 \)

 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(x = \left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {12 - x} \right)\)\( = \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {24 - x} \right)\)\( \Leftrightarrow x = 12 - 4\sqrt 3 \)

Vậy \({V_{\max }} = 384\sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow x = 12 - 4\sqrt 3 \)