(1,5 điểm) Cho hai biểu thức \(A = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x  - 2}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{{3\sqrt x  + 6}}{{x - 4}}\) với \(x > 0,\,{\rm{ }}x \ne 4\)

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 16\).

2) Rút gọn biểu thức \(B\).

3) So sánh biểu thức \(\frac{A}{B}\) với \(3\).

1) Với \(x = 16\) (thoả mãn \(x > 0,\,{\rm{ }}x \ne 4\)) ta có \(A = \frac{{16 + 3}}{{\sqrt {16}  - 2}}\)\( = \frac{{19}}{2}\). Vậy \(A = \frac{{19}}{2}\) khi \(x = 16\).

2) Với \(x > 0,\,{\rm{ }}x \ne 4\) ta có  \(B = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{{3\sqrt x  + 6}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right) - 3\sqrt x  - 6}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{x + 5\sqrt x  + 6 - 3\sqrt x  - 6}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\)

Vậy với \(x > 0,\,{\rm{ }}x \ne 4\) thì \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\)

3) Ta có \(\frac{A}{B} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x  - 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }}\)

Xét \(\frac{A}{B} - 3 = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} - 3 = \frac{{x - 3\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - \frac{3}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}}{{\sqrt x }}\)

Với \(x > 0,\,{\rm{ }}x \ne 4\) thì \(\sqrt x  > 0,\,\,{\left( {\sqrt x  - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\) nên \(\frac{A}{B} - 3 > 0\). Suy ra \(\frac{A}{B} > 3\).

Vậy với \(x > 0,\,{\rm{ }}x \ne 4\) thì \(\frac{A}{B} > 3\).