(4,0 điểm).

Một trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy trục lăn là \(5{\rm{\;cm}}\), chiều dài trục lăn là \(23{\rm{\;cm}}\) (hình bên). Sau khi lăn trục lăn trọn \(15\) vòng trên một bức tường phẳng thì diện tích phủ sơn là bao nhiêu \({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\) (giả sử các đường lăn không chồng lấn lên nhau, lấy \(\pi  = 3,14)\).

a) Vì \(\widehat {BEC}\) và \(\widehat {BDC}\) là hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\) nên: \(\widehat {BEC} = \widehat {BDC} = 90^\circ \), suy ra \(\widehat {AEH} = \widehat {ADH} = 90^\circ \)

Suy ra hai điểm \(E\) và \(D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\)

Do đó bốn điểm \(A\), \(E\), \(H\), \(D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\)

Vậy tứ giác \(AEHD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AH\)

b) Chứng minh \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC\) suy ra \(AI \bot BC\)

Chứng minh được  (g.g)

Suy ra: \(\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{BI}}{{BE}}\) hay \(AB.BE = AI.BC\) (1)

Tương tự: \(AC.CD = AI.BC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(AB.BE + AC.CD = BI.BC + CI.BC = \left( {BI + CI} \right).BC = B{C^2}\)

Vậy \(AB.BE + AC.CD = B{C^2}\)

c) Chứng minh 5 điểm \(A\,,\,M\,,\,I\,,\,O\,,\,N\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AO\), suy ra tứ giác \(AMIN\) nội tiếp , suy ra \(\widehat {AMI} + \widehat {ANI} = 180^\circ \) (*)

Chứng minh  (g.g), suy ra \(\frac{{AE}}{{AI}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) hay \(AE.AB = AI.AH\) (3)

Chứng minh  (g.g), suy ra \(\frac{{AE}}{{AM}} = \frac{{AM}}{{AB}}\) hay \(AB.AE = A{M^2}\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra  hay \(\frac{{AM}}{{AI}} = \frac{{AH}}{{AM}}\)

Chứng minh  (c.g.c), suy ra \(\widehat {AMI} = \widehat {AHM}\) (**)

Tương tự: \(\widehat {ANI} = \widehat {AHN}\) (***)

Từ (*), (**) và (***) suy ra \(\widehat {AHM} + \widehat {AHN} = 180^\circ \)

Vậy ba điểm \(M\), \(H\), \(N\) thẳng hàng.