Cho đường tròn tâm \((O)\), đường kính \(AB = 2R\). Trên đường tròn \((O)\), lấy điểm \(C\) bất kì (\(C\) không trùng với \(A\) và \(B\)). Tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) tại \(A\) cắt tia \(BC\) ở điểm \(D.\) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên đường thẳng \(DO.\) Tia \(AH\) cắt đường tròn \((O)\)tại điểm \(F\) (không trùng với \(A\)).

a) Chứng minh tứ giác \(AHCD\) nội tiếp được một đường tròn.

b) Chứng minh \[\Delta CFH\] là tam giác vuông.

c) Tính giá trị của biểu thức \(S = \frac{{BH.BC}}{{BF}}\). 

Chỉ số phát triển con người (HDI) là chỉ tiêu tổng hợp phản ánh các mặt thu nhập, sức khỏe, giáo dục của người dân trong một quốc gia. Các nước và vùng lãnh thổ trên thế giới được chia thành 4 nhóm theo HDI: Nhóm 1 (rất cao) có HDI từ 0,8 trở lên; Nhóm 2 (cao) có HDI từ 0,7 đến dưới 0,8; Nhóm 3 (trung bình) có HDI từ 0,55 đến dưới 0,7; Nhóm 4 (thấp) có HDI dưới 0,55. Năm 2021, chỉ số HDI của 11 quốc gia Đông Nam Á như sau:

Dựa vào dữ liệu trên, hãy hoàn thành bảng tần số ghép nhóm sau:

Một cốc nước có dạng hình trụ với đường kính đáy bằng 8 cm, chiều cao 12 cm và chứa một lượng nước cao 10 cm. Người ta thả từ từ một viên bi làm bằng thép đặc (không thấm nước) có thể tích là \[V{\rm{ }} = {\rm{ }}4\pi \left( {c{m^3}} \right)\] vào trong cốc. Hỏi mực nước trong cốc lúc này cao bao nhiêu cm?

(Giả sử độ dày của cốc không đáng kể).

(1,5 điểm)

1) Cho biểu thức\(A = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  + 2}}\). Tính giá trị của biểu thức\(A\)với \(x = 36\).

2) Rút gọn biểu thức\(B = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 4}} + \frac{4}{{\sqrt x  - 4}}} \right) & :\frac{{x + 16}}{{\sqrt x  + 2}}\) (với \(x \ge 0\), \(x \ne 16\)).

Một hộp có chứa 5 quả bóng có cùng khối lượng và kích thước, được đánh số lần lượt từ 1 đến 5. Lấy ra ngẫu nhiên cùng một lúc 2 quả bóng từ hộp.

a) Hãy liệt kê các phần tử của không gian mẫu của phép thử.

b) Liệt kê các kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố sau: \[D\]: “Trong 2 quả bóng lấy ra có ít nhất 1 quả bóng ghi số chẵn”.

c) Tính xác suất của biến cố\[D\]: “Trong 2 quả bóng lấy ra có ít nhất 1 quả bóng ghi số chẵn”.