Cho \(n\) là số nguyên dương thoả mãn \(C_n^1 + C_n^2 + \ldots + C_n^{n - 1} + C_n^n = 4095\). Giá trị của biểu thức \(S = {\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left( {C_n^2} \right)^2} + {\left( {C_n^3} \right)^2} + \ldots + {\left( {C_n^n} \right)^2}\) bằng:
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là A
Phương pháp giải
Vận dụng khai triển Newton.
Lời giải
Xét khai triển Newton:
\({(1 + x)^n} = C_n^0{.1^0}.{x^n} + C_n^1{.1^1}.{x^{n - 1}} + \ldots + C_n^n{.1^n}.{x^0} = C_n^0.{x^n} + C_n^1.{x^{n - 1}} + \ldots + C_n^n.{x^0}\) (1)
\(\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x + 1)}^n} = C_n^0.{x^0}{{.1}^n} + C_n^1.{x^1}{{.1}^{n - 1}} + \ldots + C_n^n.{x^n}{{.1}^0} = C_n^0.{x^0} + C_n^1.{x^1} + \ldots + C_n^n.{x^n}}\end{array}\)(2)
Cho \(x = 1\), khi đó (1) trở thành \({2^n} = C_n^0 + C_n^1 + \ldots + C_n^n \Leftrightarrow C_n^1 + \ldots + C_n^n = {2^n} - C_n^0 = {2^n} - 1\)
Cho \({2^n} - 1 = 4095 \Leftrightarrow n = 12\).
Nhân theo vế (1) và (2) ta được:
\({(1 + x)^{2n}} = \left( {C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + \ldots + C_n^n{x^0}} \right)\left( {C_n^0{x^0} + C_n^1{x^1} + \ldots + C_n^n{x^n}} \right)\)
Đồng nhất hệ số của \({x^n}\) ta được:
\(C_{2n}^n = {\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + \ldots + {\left( {C_n^n} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {C_n^1} \right)^2} + \ldots + {\left( {C_n^n} \right)^2} = C_{2n}^n - 1\)
Cho \(n = 12\), ta được \(S = C_{24}^{12} - 1 = 2704155\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Đáp án đúng là C
Phương pháp giải
Vận dụng lí thuyết về dòng điện xoay chiều
Lời giải
Ta có: Trong 1 chu kỳ, dòng điện có giá trị tức thời bằng giá trị hiệu dụng của nó 2 lần
Vậy trong 50 chu kỳ, dòng điện có giá trị tức thời bằng giá trị hiệu dụng của nó 100 lần.
Câu 2
C. Tỉ lệ gia tăng dân số tự nhiên Bun-ga-ri cao hơn Cộng hòa Nam Phi.
Lời giải
Đáp án đúng là D
Phương pháp giải
Nhận xét bảng số liệu và công thức tính tỉ lệ gia tăng dân số.
Lời giải
- Tỉ lệ gia tăng dân số (%) = (Tỉ suất sinh – tỉ suất tử)/10
- Dựa vào công thức trên, ta tính được tỉ lệ gia tăng dân số của Cộng hòa Nam Phi năm 2020 là: (20,7 – 9,5)/10 = 1,12%.
- Tương tự như vậy, tỉ lệ gia tăng dân số của Ma-lai-xi-a; Bun-ga-ri và An-ba-ni lần lượt là 1,17%; 0,64%; 0,4%.
=> An-ba-ni là quốc gia có tỉ lệ gia tăng dân số tự nhiên thấp nhất là nhận xét đúng.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập