Cho \(n\) là số nguyên dương thoả mãn \(C_n^1 + C_n^2 + \ldots + C_n^{n - 1} + C_n^n = 4095\). Giá trị của biểu thức \(S = {\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left( {C_n^2} \right)^2} + {\left( {C_n^3} \right)^2} + \ldots + {\left( {C_n^n} \right)^2}\) bằng:

Đáp án đúng là A                                      

Phương pháp giải

Vận dụng khai triển Newton.

Lời giải

Xét khai triển Newton:

\({(1 + x)^n} = C_n^0{.1^0}.{x^n} + C_n^1{.1^1}.{x^{n - 1}} + \ldots + C_n^n{.1^n}.{x^0} = C_n^0.{x^n} + C_n^1.{x^{n - 1}} + \ldots + C_n^n.{x^0}\) (1)

\(\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x + 1)}^n} = C_n^0.{x^0}{{.1}^n} + C_n^1.{x^1}{{.1}^{n - 1}} + \ldots + C_n^n.{x^n}{{.1}^0} = C_n^0.{x^0} + C_n^1.{x^1} + \ldots + C_n^n.{x^n}}\end{array}\)(2)

Cho \(x = 1\), khi đó (1) trở thành \({2^n} = C_n^0 + C_n^1 + \ldots  + C_n^n \Leftrightarrow C_n^1 + \ldots + C_n^n = {2^n} - C_n^0 = {2^n} - 1\)

Cho \({2^n} - 1 = 4095 \Leftrightarrow n = 12\).

Nhân theo vế (1) và (2) ta được:

\({(1 + x)^{2n}} = \left( {C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + \ldots + C_n^n{x^0}} \right)\left( {C_n^0{x^0} + C_n^1{x^1} + \ldots + C_n^n{x^n}} \right)\)

Đồng nhất hệ số của \({x^n}\) ta được:

\(C_{2n}^n = {\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + \ldots + {\left( {C_n^n} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {C_n^1} \right)^2} + \ldots + {\left( {C_n^n} \right)^2} = C_{2n}^n - 1\)

Cho \(n = 12\), ta được \(S = C_{24}^{12} - 1 = 2704155\).