Số nghiệm của phương trình \(3{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - {\rm{sin}}x{\rm{cos}}2x - \frac{{{\rm{sin}}2x}}{2} - {\rm{cos}}x{\rm{cos}}2x + {\rm{sin}}x = 2\) trong khoảng \(\left( {0;2024\pi } \right)\) bằng:

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình lượng giác đã cho về dạng các phương trình lượng giác cơ bản.

Lời giải

Biến đổi phương trình đã cho:

\[3{\cos ^2}x - \sin x\cos 2x - \frac{{\sin 2x}}{2} - \cos x\cos 2x + \sin x = 2\]

\( \Leftrightarrow 3{\cos ^2}x - 2 - \sin x\cos 2x - \sin x\cos x - \cos x\cos 2x + \sin x = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 + {\cos ^2}x - 1 - \sin x\cos 2x - \sin x\cos x - \cos x\cos 2x + \sin x = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x - {\sin ^2}x - \sin x\cos 2x - \sin x\cos x - \cos x\cos 2x + \sin x = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x(1 - \sin x - \cos x) + \sin x(1 - \sin x - \cos x) = 0\)

\( \Leftrightarrow (\cos 2x + \sin x)(1 - \sin x - \cos x) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( { - 2{{\sin }^2}x + \sin x + 1} \right)\left( {1 - \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow (\sin x - 1)(2\sin x + 1)\left( {1 - \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin x = 1}\\{\sin x = \frac{{ - 1}}{2}}\\{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{11\pi }}{6} + k2\pi }\\{x = k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{11\pi }}{6} + k2\pi }\\{x = k2\pi }\end{array}\quad (k \in \mathbb{Z})} \right.\)

Cho \(0 < \frac{\pi }{2} + k2\pi < 2024\pi \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{4} < k < \frac{{4047}}{4} \Rightarrow \) Có 1012 giá trị nguyên của \(k\).

Cho \(0 < \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi < 2024\pi \Leftrightarrow \frac{{ - 7}}{{12}} < k < \frac{{12137}}{{12}} \Rightarrow \) Có 1012 giá trị nguyên của \(k\).

Cho \(0 < \frac{{11\pi }}{6} + k2\pi < 2024\pi \Leftrightarrow \frac{{ - 11}}{{12}} < k < \frac{{12133}}{{12}} \Rightarrow \) Có 1012 giá trị nguyên của \(k\).

Cho \(0 < k2\pi < 2024\pi \Leftrightarrow 0 < k < 1012 \Rightarrow \) Có 1011 giá trị nguyên của \(k\).

Khi đó, phương trình đã cho có \(1012 + 1012 + 1012 + 1011 = 4047\) nghiệm trong (\(0;2024\pi \)).