Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + x\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết rằng qua điểm \(M\left( {\frac{5}{3}; - \frac{7}{3}} \right)\) có thể kẻ hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) là tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\). Diện tích của tam giác tạo bởi \({d_1},{d_2}\) và trục \(Ox\) bằng:

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lập phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\).

Lời giải

Có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x + 1\).

Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm \(\left( {{x_0};x_0^3 - 3x_0^2 + {x_0}} \right)\) của đồ thị \(\left( C \right)\) là:

\(y = \left( {3x_0^2 - 6{x_0} + 1} \right)\left( {x - {x_o}} \right) + x_0^3 - 3x_0^2 + {x_0}{\rm{\;}}\left( d \right)\)

Cho \(d\) đi qua điểm \(M\left( {\frac{5}{3}; - \frac{7}{3}} \right)\) ta được phương trình:

\(\frac{{ - 7}}{3} = \left( {3x_0^2 - 6{x_0} + 1} \right)\left( {\frac{5}{3} - {x_o}} \right) + x_0^3 - 3x_0^2 + {x_0}\)

\( \Leftrightarrow \left( {3x_0^2 - 6{x_0} + 1} \right)\left( { - 3{x_o} + 5} \right) + 3x_0^3 - 9x_0^2 + 3{x_0} + 7 = 0\)

\( \Leftrightarrow - 6x_0^3 + 24x_0^2 - 30{x_0} + 12 = 0\)

\( \Leftrightarrow - 6\left( {{x_0} - 2} \right){\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 1}\\{{x_0} = 2}\end{array}} \right.\)

Khi \({x_0} = 1\), có \({d_1}:y = - 2\left( {x - 1} \right) - 1 = - 2x + 1,{d_1}\) cắt \(Ox\) tại \(A\left( {\frac{1}{2};0} \right)\).

Khi \({x_0} = 2\), có \({d_2}:y = 1\left( {x - 2} \right) - 2 = x - 4,{d_2}\) cắt \(Ox\) tại \(B\left( {4;0} \right)\).

Có \(AB = \left| {\frac{1}{2} - 4} \right| = \frac{7}{2},d\left( {M;Ox} \right) = \left| {{y_M}} \right| = \frac{7}{3} \Rightarrow {S_{ABM}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {M;Ox} \right) = \frac{{49}}{{12}}\).