Hằng ngày mực nước của một con sông lên xuống theo thủy triều. Độ sâu \(h\) (mét) của mực nước trong sông tính theo thời gian \(t\) (giờ) trong một ngày \(\left( {0 \le t \le 24} \right)\) cho bởi công thức \(5{\rm{cos}}\left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) + 15\).

Chu kỳ của hàm số thể hiện độ sâu của sông là:

 

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Tính thể tích

Lời giải

Ta có \(A'A = A'B = A'C = a\sqrt 7 \) nên \(A'\) cách đều ba điểm \(A,B,C\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(G\) là trọng tâm tam giác đều \(ABC\) suy ra \(A'G \bot \left( {ABC} \right)\)

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(B'\) lên \(\left( {ABC} \right),B'C \cap \left( {ABC} \right) = C \Rightarrow HC\) là hình chiếu của \(B'C\) lên \(\left( {ABC} \right)\).

Suy ra \(\left( {B'C\widehat {\left( {ABC} \right)}} \right) = \left( {\widehat {B'C;HC}} \right) = {30^ \circ }\), và

\(B'H = d\left( {B';\left( {ABC} \right)} \right) = d\left( {A';\left( {ABC} \right)} \right) = A'G\) (vì \(A'B'//\left( {ABC} \right)\))

Xét tam giác \(B'HC\) vuông tại \(H\) ta có:

\({\rm{sin}}{30^ \circ } = \frac{{d\left( {B';\left( {ABC} \right)} \right)}}{{B'C}} = \frac{{d\left( {A';\left( {ABC} \right)} \right)}}{{B'C}} = \frac{{A'G}}{{B'C}}\).

Suy ra \(B'C = 2A'G\), đặt \(x = A'G,x > 0 \Rightarrow B'C = 2x\).

Mà ta thấy \(BC \bot \left( {A'AM} \right) \Rightarrow BC \bot A'A \Rightarrow BC \bot B'B \Rightarrow B'BC'C\) là hình chữ nhật.

Xét tam giác \(A'AG\) vuông tại \(G\), suy ra

\(AG = \sqrt {A'{A^2} - A'{G^2}} = \sqrt {7{a^2} - {x^2}} \Rightarrow AM = \frac{3}{2}AG = \frac{3}{2}\sqrt {7{a^2} - {x^2}} \)

\( \Rightarrow AB = BC = AC = \sqrt {3\left( {7{a^2} - {x^2}} \right)} \).

Xét tam giác \(B'BC\) vuông tại \(B\)

\( \Leftrightarrow B'{B^2} + B{C^2} = B'{C^2} \Leftrightarrow 7{a^2} + 3\left( {7{a^2} - {x^2}} \right) = 4{x^2} \Leftrightarrow x = 2a\).

Suy ra \(A'G = 2a \Rightarrow AB = BC = AC = 3a \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}{a^2}\).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'G.{S_{ABC}} = 2a.\frac{{9\sqrt 3 }}{4}{a^2} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}{a^3}\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Giải bất phương trình logarit.

Lời giải

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + {y^2} + 3y} \right) + 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x + {y^2}} \right) \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}y + 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x + {y^2} + 6y} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + {y^2} + 3y} \right) - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}y \le 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x + {y^2} + 6y} \right) - 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x + {y^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {\frac{{x + {y^2}}}{y} + 3} \right) \le 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {1 + \frac{{6y}}{{x + {y^2}}}} \right) \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {\frac{{x + {y^2}}}{y} + 3} \right) - 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {1 + \frac{{6y}}{{x + {y^2}}}} \right) \le 0\)

Ta đặt \(t = \frac{{x + {y^2}}}{y},t > 0\)

Khi đó bất phương trình trờ thành \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {3 + t} \right) - 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {1 + \frac{6}{t}} \right) \le 0\) (1)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {3 + t} \right) - 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {1 + \frac{6}{t}} \right)\).

Suy ra \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{\left( {3 + t} \right){\rm{ln}}3}} + \frac{{12}}{{\left( {{t^2} + 6t} \right){\rm{ln}}2}} > 0,\forall t > 0\). Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Ta có: \(f\left( 6 \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}9 - 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}2 = 0\). Suy ra

\(f\left( t \right) \le f\left( 6 \right) \Leftrightarrow t \le 6 \Leftrightarrow \frac{{x + {y^2}}}{y} \le 6 \Leftrightarrow x + {(y - 3)^2} \le 9\)

Ta đếm các cặp giá trị nguyên dương của \(\left( {x;y} \right)\)

Ta có \({(y - 3)^2} < 9 \Leftrightarrow 0 < y < 6 \Rightarrow y \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\)

Ÿ Với \(y = 1;y = 5 \Rightarrow x \le 5 \Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) suy ra có 10 cặp thỏa mãn.

Ÿ Với \(y = 2;y = 4 \Rightarrow x \le 8 \Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\) suy ra có 16 cặp thỏa mãn.

Ÿ Với \(y = 3 \Rightarrow x \le 9 \Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\) suy ra có 9 cặp thỏa mãn.

Vậy có tất cả 35 cặp giá trị nguyên dương thỏa mãn.