Vectơ nào sau đây cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u  = \left( { - 3;\,\,7} \right)\)?

Đáp án đúng là: D

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Đường thẳng \({d_1}:2x + 2\sqrt 3 y + 5 = 0\) có một vectơ pháp tuyến  là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;\,2\sqrt 3 } \right)\).

Đường thẳng \({d_2}:y - 6 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {0;\,\,1} \right)\).

Ta có: \(\cos \varphi  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.0 + 2\sqrt 3 .1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \(\varphi= 30^\circ \).

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng \({d_1}:2x - 3y + 19 = 0\) có một vectơ pháp tuyến  là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;\, - 3} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 4 - 4mt\end{array} \right.\) chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 3;\,\, - 4m} \right)\), nên nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {4m;\,\, - 3} \right)\).

Hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0\)

\( \Leftrightarrow 2.4m + \left( { - 3} \right).\left( { - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 8m + 9 = 0 \Leftrightarrow m =  - \frac{9}{8}\).