Giả sử hệ số của \(x\) trong khai triển của \({\left( {{x^2} + \frac{r}{x}} \right)^5}\)bằng 640 với \(r\) là một số thực khác 0. Xác định giá trị của \(r\).

Áp dụng công thức khai triển của \({\left( {a + b} \right)^5}\) cho \(a = {x^2},b = \frac{r}{x}\) ta được:

\({\left( {{x^2} + \frac{r}{x}} \right)^5}\)

\( = C_5^0.{\left( {{x^2}} \right)^5} + C_5^1.{\left( {{x^2}} \right)^4}.\frac{r}{x} + C_5^2.{\left( {{x^2}} \right)^3}.{\left( {\frac{r}{x}} \right)^2} + C_5^3.{\left( {{x^2}} \right)^2}.{\left( {\frac{r}{x}} \right)^3} + C_5^4.{x^2}.{\left( {\frac{r}{x}} \right)^4} + C_5^5.{\left( {\frac{r}{x}} \right)^5}\)

\( = {\left( {{x^2}} \right)^5} + 5{\left( {{x^2}} \right)^4}.\frac{r}{x} + 10{\left( {{x^2}} \right)^3}.{\left( {\frac{r}{x}} \right)^2} + 10{\left( {{x^2}} \right)^2}.{\left( {\frac{r}{x}} \right)^3} + 5{x^2}.{\left( {\frac{r}{x}} \right)^4} + {\left( {\frac{r}{x}} \right)^5}\)

\( = {x^{10}} + 5r{x^7} + 10{r^2}{x^4} + 10{r^3}x + \frac{{5{r^4}}}{{{x^2}}} + \frac{{{r^5}}}{{{x^5}}}\)

Theo đề bài, ta có hệ số của \(x\) trong khai triển của \({\left( {{x^2} + \frac{r}{x}} \right)^5}\)bằng 640 nên:

\(10{r^3} = 640 \Leftrightarrow {r^3} = 64 \Leftrightarrow r = 4\).