Có 3 cặp vợ chồng mua 6 vé xem phim với các chỗ ngồi liên tiếp nhau trên cùng một hàng ghế. Số cách xếp chỗ ngồi sao cho mỗi cặp vợ chồng đều ngồi cạnh nhau là

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức khai triển của \({\left( {a + b} \right)^5}\) lần lượt cho \(a = \sqrt 5 \) và \(b = 1\), rồi cho \(a = \sqrt 5 \) và \(b =  - 1\), ta có

\({\left( {\sqrt 5  + 1} \right)^5} - {\left( {\sqrt 5  - 1} \right)^5}\)

\( = \left( {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^5} + 5{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^4} + 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3} + 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} + 5\sqrt 5  + 1} \right)\)

\( - \left( {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^5} - 5{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^4} + 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3} - 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} + 5\sqrt 5  - 1} \right)\)

\( = 10.{\left( {\sqrt 5 } \right)^4} + 20.{\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + 2\)

\( = 10\,\,.\,25 + 20\,\,.\,\,5 + 2 = 352\)

Số cách chọn 4 học sinh bất kì từ 12 học sinh là \(C_{12}^4 = 495\) cách.

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau:

\( * \) TH1: Lớp \(A\) có 2 học sinh, các lớp \(B,C\) mỗi lớp có 1 học sinh:

Chọn 2 học sinh trong 5 học sinh lớp \(A\) có \(C_5^2\) cách.

Chọn 1 học sinh trong 4 học sinh lớp \(B\) có \(C_4^1\) cách.

Chọn 1 học sinh trong 3 học sinh lớp \(C\) có \(C_3^1\) cách.

Suy ra số cách chọn là \(C_5^2.C_4^1.C_3^1 = 120\) cách.

\( * \) TH2: Lớp \(B\) có 2 học sinh, các lớp \(A,C\) mỗi lớp có 1 học sinh:

Tương tự ta có số cách chọn là \(C_5^1.C_4^2.C_3^1 = 90\) cách.

\( * \) TH3: Lớp \(C\) có 2 học sinh, các lớp \(A,B\) mỗi lớp có 1 học sinh:

Tương tự ta có số cách chọn là \(C_5^1.C_4^1.C_3^2 = 60\) cách.

Vậy số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là \(120 + 90 + 60 = 270\) cách.

Số cách chọn ra 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên là \(495 - 270 = 225\) cách.