Tìm góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y + 15 = 0\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 4 + 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Lời giải

Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 2} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 1;2} \right)\).

Có \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;1} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 1;2} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({\Delta _2}\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

Khi đó \(\cos \varphi  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {1 \cdot 2 + \left( { - 2} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = 0\)\( \Rightarrow \varphi  = 90^\circ \). Chọn A.