Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( { - 3;1} \right),B\left( {1;2} \right)\) và \(C\left( {4; - 2} \right)\).

Lời giải

a) \(\overrightarrow {OA}  = \left( { - 3;1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt {10} \).

b) Đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(BC\) nhận \(\overrightarrow {BC}  = \left( {3; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3\left( {x + 3} \right) - 4\left( {y - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - 4y + 13 = 0\).

c) Ta có \(\overrightarrow {AC}  = \left( {7; - 3} \right)\).

Có \(\overrightarrow n  = \left( {3;7} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {AC}  = \left( {7; - 3} \right)\) nên đường thẳng \(AC\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {3;7} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng \(AC\) có phương trình là \(3\left( {x + 3} \right) + 7\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 7y + 2 = 0\).

Khi đó \(d\left( {B,AC} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 1 + 7 \cdot 2 + 2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {7^2}} }} = \frac{{19}}{{\sqrt {58} }}\).

d) Vì \(d'\) đối xứng với \(d\)qua \(A\) nên \(d'//d\) và \(d\left( {A,d} \right) = d\left( {A,d'} \right)\).

Ta có \(d'\): \(x - 2y + c = 0,c \ne 1\).

Vì \(d\left( {A,d} \right) = d\left( {A,d'} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 3 - 2 \cdot 1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| { - 3 - 2 \cdot 1 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\)\( \Leftrightarrow \left| {c - 5} \right| = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c - 5 = 4\\c - 5 =  - 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 9\\c = 1\end{array} \right.\).

Vì \(c \ne 1\) nên \(c = 9\). Do đó \(d':x - 2y + 9 = 0\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;   c) Sai;    d) Đúng.