Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(M\left( {2;0} \right)\) là trung điểm của cạnh \(AB\), đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh \(A\) lần lượt có phương trình \(7x - 2y - 3 = 0\) và \(6x - y - 4 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(AC\).

Lời giải

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}7x - 2y - 3 = 0\\6x - y - 4 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;2} \right)\).

\(B\) đối xứng với \(A\) qua \(M\), suy ra \(B = \left( {3; - 2} \right)\).

Đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\) và vuông góc với đường thẳng \(6x - y - 4 = 0\) có phương trình là

\(x + 6y + 9 = 0\).

Tọa độ trung điểm \(N\) của đoạn thẳng \(BC\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}7x - 2y - 3 = 0\\x + 6y + 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y =  - \frac{3}{2}\end{array} \right.\).

Suy ra \(\overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {MN}  = \left( { - 4; - 3} \right)\).

Đường thẳng \(AC\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(3x - 4y + 5 = 0\).