Một cái cổng cầu vồng hình bán nguyệt ở công viên rộng 6,8 m, cao 3,4 m như hình vẽ. Mặt đường dưới cổng được chia thành hai làn cho xe ra vào.

a) Viết phương trình mô phỏng cái cổng.

b) Một chiếc xe tải rộng 2,4 m và cao 2,5 m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng hay không?

a) Chọn hệ tọa độ sao cho tâm của cái cổng cầu vồng hình bánh nguyệt có tọa độ \(\left( {0;\,\,0} \right)\) và đỉnh của cổng có tọa độ \(M\left( {0;\,3,4} \right)\). 

Cổng hình bán nguyệt là nửa hình tròn với tâm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) và bán kính là \(R = 3,4\) m.

Ta có phương trình mô phỏng của cổng là: \({x^2} + {y^2} = {3,4^2}\)\(\left( {y > 0} \right)\).

b) Gọi \(OABC\) là thiết diện của xe tải. Theo bài ra ta có: \(OA = 2,4\,{\rm{m}};\,\,OC = 2,5\,\,{\rm{m}}\).

Từ định lí Pythagore ta suy ra: \(OB = \sqrt {O{A^2} + O{C^2}}  = \sqrt {{{2,4}^2} + {{2,5}^2}}  \approx 3,5 > R = 3,4\) (m).

Vậy nếu đi đúng làn đường quy định thì xe tải không thể đi qua cổng.