$Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$, có cạnh $a$. Biết $M$ là trung điểm của $AB$. Khi đó: (ảnh 1)$

a) $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)$$ = - a \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = - {a^2}$.

b) \[\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AM} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AC} } \right)\]\[ = \frac{a}{2} \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}\].

c) Do $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} $.

Vì $O,M$ lần lượt là trung điểm của $BD,AB$ nên $OM = \frac{1}{2}AD$ và $\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AD} $ ngược hướng nên $\overrightarrow {OM} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} $.

Khi đó $\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AC} $

\[ = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BD} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right) - \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC} } \right)\]

\[ = a \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ - \frac{1}{2}a \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ \]\[ = \frac{1}{2}a \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}\].

d) Theo quy tắc hình bình hành có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} $.

Khi đó $\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AC} \left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} } \right)$$ = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} $$ = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} $

$ = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} $$ = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right)$$ = a\sqrt 2 \cdot a \cdot \cos 45^\circ = {a^2}$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho hình thoi \(ABCD\) tâm \(O\), cạnh bằng 1 và \(\widehat A = 60^\circ \). Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AO} \) bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

$Cho hình thoi \(ABCD\) tâm \(O\), cạnh bằng (ảnh 1)$