Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\).

a) Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), ta có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = 2\).

\(\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {ABC} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {ACB} = 30^\circ \).

\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \cos \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \cos \widehat {BCD} = \cos 150^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

b) \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} \)\( = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\).

\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \sqrt 3 \cdot 2 \cdot \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = - 3\).

a) \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)\( = - a \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = - {a^2}\).

b) \[\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AM} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AC} } \right)\]\[ = \frac{a}{2} \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}\].

c) Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).

Vì \(O,M\) lần lượt là trung điểm của \(BD,AB\) nên \(OM = \frac{1}{2}AD\) và \(\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AD} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {OM} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).

Khi đó \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AC} \)

\[ = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BD} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right) - \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC} } \right)\]

\[ = a \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ - \frac{1}{2}a \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ \]\[ = \frac{1}{2}a \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}\].

d) Theo quy tắc hình bình hành có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \).

Khi đó \(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AC} \left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} } \right)\)\( = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} \)\( = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} \)

\( = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} \)\( = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right)\)\( = a\sqrt 2 \cdot a \cdot \cos 45^\circ = {a^2}\).

Đáp án: a) Sai;    b) Sai;     c) Đúng;     d) Đúng.