Cho \(\Delta ABC\) có trọng tâm \(G\). Các điểm \(D,E,F\) lần lượt là trung điểm của \(BC,AB,AC\) và \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(EF\). Đặt \(\overrightarrow u = \overrightarrow {AE} ,\overrightarrow v = \overrightarrow {AF} \). Phân tích vectơ \(\overrightarrow {AI} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) ta thu được kết quả dạng \(a \cdot \overrightarrow u + b \cdot \overrightarrow v \) với \(a,b\) là các số hữu tỉ. Tính \(S = a + b\).

a) Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), ta có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = 2\).

\(\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {ABC} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {ACB} = 30^\circ \).

\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \cos \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \cos \widehat {BCD} = \cos 150^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

b) \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} \)\( = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\).

\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \sqrt 3 \cdot 2 \cdot \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = - 3\).