Câu hỏi:

05/01/2026 19

Cho tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$, điểm $N$ nằm trêm cạnh $AC$ sao cho $NA = 2NC$, $D$ là trung điểm của $AN$.

a) Chứng minh $\overrightarrow {AC} + 3\overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 $.

b) Phân tích vectơ $\overrightarrow {MN} $ theo hai vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} $.

$Cho tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$, điểm $N$ nằm trêm cạnh (ảnh 1)$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập ôn tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 5 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Ta có $\overrightarrow {DA} $ và $\overrightarrow {AC} $ là hai vectơ ngược hướng nhau và $AC = 3DA$ nên $\overrightarrow {AC} = - 3\overrightarrow {DA} $$ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + 3\overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 $.

b) Ta có $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CA} $$ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} $$ = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} $.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 1,AC = \sqrt 3 $.

a) Tính $\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)$ và $\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)$.

b) Tính $\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} $ và $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CB} $.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 1,AC = \sqrt 3 $. (ảnh 1)$

a) Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = 2$.

$\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {ABC} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {ACB} = 30^\circ $.

$\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \cos \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \cos \widehat {BCD} = \cos 150^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

b) $\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} $$ = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

$\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \sqrt 3 \cdot 2 \cdot \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = - 3$.

Câu 2

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB = 3,AC = 4$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$.

a) $\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} $.

Đúng

Sai

b) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AM} $.

Đúng

Sai

c) $\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = 9$.

Đúng

Sai

d) Độ dài vectơ $\overrightarrow u = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} $ bằng $2\sqrt {13} $.

Đúng

Sai

Lời giải

$Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB = 3,AC = 4$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. (ảnh 1)$

a) $\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {BA} $.

b) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AM} $.

c) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ có $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5$; $\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{5}$

Khi đó $\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 3 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 9$.

d) Ta có ${\left( {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = 4{\overrightarrow {AB} ^2} + 4\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + {\overrightarrow {AC} ^2}$$ = 4{\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2}$$ = 4 \cdot {3^2} + {4^2} = 52$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {52} = 2\sqrt {13} $.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Câu 3

Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$, có cạnh $a$. Biết $M$ là trung điểm của $AB$. Khi đó:

a) $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CA} = {a^2}$.

Đúng

Sai

b) $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{3}$.

Đúng

Sai

c) $\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{2}$.

Đúng

Sai

d) $\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} } \right) = {a^2}$.

Đúng

Sai

Lời giải