Cho tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {BAC} = \widehat {ADC} = 90^\circ \) như hình vẽ, độ dài cạnh \(AB\) gấp ba lần độ dài cạnh \(AD\), độ dài cạnh \(AD\) kém độ dài cạnh \(AC\) một đơn vị. Tính độ dài cạnh \(AD\) để độ dài cạnh \(AB\) gấp bốn lần độ dài cạnh \(CD\).

Một doanh nghiệp dự định sản xuất \(x\) sản phẩm trong một tháng \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là \(F\left( x \right) = - 20{x^2} + 2200x - 19980\) (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là \(G\left( x \right) = \frac{{20}}{x} + 100\) (nghìn đồng). Nếu muốn lợi nhuận đạt trên 20 triệu đồng thì doanh nghiệm đó cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm.

Cho \(f\left( x \right) = - {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3\) (\(m\) là tham số). Khi đó:

Bác Nam dự định xây dựng một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài 10 m, trên khu vườn đó bác Nam muốn chia thành hai phần: phần đất trồng rau dạng hình vuông có cạnh bằng chiều rộng của khu vườn, phần còn lại bác Nam làm hồ nuôi cá. Biết chi phí thi công phần đất trồng rau và hồ nuôi cá lần lượt là 60000 đồng/m² và 135000 đồng/m². Hỏi chiều rộng khu vườn lớn nhất có thể là bao nhiêu mét để tổng chi phí thi công không quá 5400000 đồng/m².

Một cửa hàng kinh doanh xăng dầu. Kế toán của cửa hàng đã tính toán lợi nhuận khi bán xăng A95 hàng ngày theo công thức sau \(y = - 86{x^2} + 86000x - 18146000\), trong đó \(x\) là số lít xăng A95 được bán ra, \(y\) là lợi nhuận theo đơn vị đồng. Hỏi cửa hàng bán tối thiểu bao nhiêu lít xăng thì sẽ có lợi nhuận.