Công thức tính thể tích của hình nón có bán kính đáy \(r\),chiều cao \(h\) là

a) Xét đường tròn \(\left( I \right)\) có \(\widehat {ADB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(AD \bot \;BD\;\left( 1 \right)\)

Xét đường tròn \(\left( K \right)\) có: \(\widehat {ADC} = 90^\circ \;\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(AD \bot \;CD\;\left( 2 \right)\)

Từ (1), (2) suy ra \(B,\;C,D\) thẳng hàng nên \(D\) là điểm thuộc cạnh huyền \(BC\).

b) Ta có \({\rm{\Delta }}\;IAK\) vuông tại \(A\)  (\({\rm{\Delta }}\;ABC\) vuông tại \(A\))

Suy ra \({\rm{\Delta }}\;IAK\) nội tiếp đường tròn đường kính \(IK.\)

Suy ra ba điểm \(I,A,K\) thuộc đường tròn đường kính \(IK\)   (3)

Xét đường tròn \(\left( I \right)\) có: \(IA = ID\) (cùng bán kính)

Suy ra \({\rm{\Delta }}\;IAD\) cân tại I nên \(\widehat {IAD} = \widehat {IDA}\;\;\left( * \right)\)

Xét đường tròn \(\left( K \right)\) có: \(KA = KD\) (cùng bán kính)

Suy ra \({\rm{\Delta }}\;IAD\) cân tại I nên \(\widehat {KAD} = \widehat {KDA}\;\;\left( {**} \right)\)

Ta có \(\widehat {IAD} + \widehat {KAD} = \widehat {IAK\;} = 90^\circ \,\,\left( {***} \right)\)

Từ (*), (**), (***) suy ra \(\widehat {IDK\;} = \widehat {IDA\;} + \widehat {KDA} = 90^\circ \)

Nên \({\rm{\Delta }}\;IDK\) vuông tại \(D\)

Suy ra \({\rm{\Delta }}\;IDK\) nội tiếp đường tròn đường kính \(IK.\)

Suy ra ba điểm \(I,D,K\) thuộc đường tròn đường kính \(IK\)  (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(A,I,D,K\) cùng thuộc một đường tròn.

Vậy tứ giác \(AIDK\) là tứ giác nội tiếp.

Ta có \(P = \frac{{\sqrt {x + 2\sqrt x  + 1} }}{{x - 1}}.\sqrt {x - 2\sqrt x  + 1} \)

\( = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}} }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\left| {\sqrt x  + 1} \right|.\left| {\sqrt x  - 1} \right|}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\( = 1\) (với \(x > 1\))