Bà Bích xin một “chữ Tâm” được sơn son thếp vàng trong một hình chữ nhật \[ABCD\] kích thước \[20{\rm{ cm}} \times 40{\rm{ cm}}{\rm{.}}\] Bà treo bức tranh này trên tường trong phòng khách của Bà. Để tăng điểm nhấn cho bức tranh, Bà trang trí một khung hình cách điệu hình chữ nhật \[MNPQ\] sao cho các điểm \[A,B,C,D\] lần lượt thuộc các cạnh \[QM,MN,NP,PQ\] (xem hình vẽ). Lúc này, Bà cần tính toán phần diện tích chiếm chỗ của hình chữ nhật \[MNPQ\] trên tường nhà sao cho cân đối nhất. Hỏi diện tích lớn nhất của hình chữ nhật \[MNPQ\] là bao nhiêu centimet vuông?

a) Đúng

Vì máy bay giữ nguyên hướng và tốc độ nên sau 10 giây máy bay đến vị trí \(C\), ta có

\(\overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {BC} \).

Gọi \(C\left( {a;b;c} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( {a + 8;b - 6;c - 10} \right);\overrightarrow {AB}  = \left( { - 8;6;0} \right)\)

\(\overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {BC}  \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 8 = 2(a + 8)}\\{6 = 2(b - 6)}\\{0 = 2(c - 10)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - 12}\\{b = 9}\\{c = 10}\end{array} \Rightarrow C( - 12;9;10)} \right.\)

Tương tự \(F\left( {\frac{9}{{40}};\frac{3}{{10}};0} \right)\).

b) Sai

\(BE = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{{20}} + 8} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{5} + 6} \right)}^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2}}  \approx 14\left( {km} \right)\)

c) Đúng

Quãng đường xe tăng đi được trong 20 giây đầu tiên là \(OE = 0,25km = 250m \Rightarrow {v_{tb}} = 12,5m/s\)

d) Đúng

Giả sử sau thời gian t máy bay đang ở vị trí \(D\) và xe tăng đang ở vị trí \(K\).

Véc tơ vận tốc của máy bay là \(\overrightarrow {{v_1}}  = 1800.\frac{{\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \left( { - 1440;1080;0} \right)\)

\(\overrightarrow {A{\rm{D}}}  = t.\overrightarrow {{v_1}}  \Rightarrow D\left( { - 1440t;1080t;10} \right)\)

\(\overrightarrow {{u_1}}  = 60.\frac{{\overrightarrow u }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \left( {36;48;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OK}  = t.\overrightarrow {{u_1}}  \Rightarrow K\left( {36t;48t;0} \right)\)

\(DK = \sqrt {{{1476}^2}{t^2} + {{1032}^2}{t^2} + 100}  = f(t)\)

Thời gian máy bay là \(27:1800 = 0,015h\)

Tốc độ thay đổi khoảng cách giữa máy bay và xe tăng lúc này là \(f'(0,015) = 1689km/h\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ.

Ta tìm được \(A'\left( {0;0;\sqrt 2 } \right)\), \(C\left( {1;0;0} \right)\).

\({x_B} = AH = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\).

\({y_B} = BH = \frac{{AC\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Suy ra \(B\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)\).

Do đó \(B'\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};1} \right)\) (Do \(B\) là hình chiếu của \(B'\) lên \(\left( {Oxy} \right)\)).

\(A'B\) đi qua điểm \(B\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)\) và có 1 vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {A'B}  = \left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \sqrt 2 } \right)\).

\(B'C\) đi qua điểm \(C\left( {1;0;0} \right)\) và có 1 vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {B'C}  = \left( {\frac{1}{2}; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}; - 1} \right)\).

\(d\left( {A'B,B'C} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {B'C} } \right] \cdot \overrightarrow {BC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {B'C} } \right]} \right|}} \approx 0,92\).