Một công ty bánh kẹo muốn sản xuất một loại kẹo có dạng hình nón. Nhân của kẹo làm bằng sô cô la là một hình trụ có bán kính đáy và chiều cao cùng bằng \[{\rm{1}}\,\,{\rm{cm}}\], một đáy của nhân kẹo nằm trên mặt đáy của hình nón và có tâm trùng với tâm đáy hình nón, đường tròn đáy còn lại của hình trụ nằm trên mặt xung quanh của hình nón. Phần còn lại của kẹo được phủ đầy bằng sữa khô (hình vẽ bên). Biết rằng công ty đã thiết kế viên kẹo có thể tích nhỏ nhất để tiết kiệm tối đa nguyên liệu sữa khô. Tính chiều cao của viên kẹo.

Đầu năm học mới, hai bạn Nam và Hùng cùng đi mua bút và vở. Nam mua \[10\] cái bút và \[15\] quyển vở hết \[200\] nghìn đồng, Hùng mua \[7\] cái bút và \[14\] quyển vở hết \[175\] nghìn đồng. Tính giá của mỗi chiếc bút và giá của mỗi quyển vở (biết giá của mỗi chiếc bút là như nhau và giá của mỗi quyển vở là như nhau).

Bảng sau thống kê tiền lương \[50\] công nhân của một công ty trong tháng \[5\] năm \[2025\]:

Hỏi nhóm nào có tần số nhỏ nhất? Tính tần số tương đối của nhóm đó.

(2, 0 điểm).

a) Tính \[A = \sqrt 2 \,\, \cdot \,\,\sqrt 8  + \sqrt {25} \]

b) Rút gọn biểu thức \[B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{6}{{x - 9}}} \right):\frac{{x + 1}}{{x - 3\sqrt x }}\], với \[\left( {x > 0\,,\,x \ne 9} \right)\]

c) Tìm \[b\] để đường thẳng \[y = x + b\] cắt đồ thị hàm số \[y = 2{x^2}\] tại điểm có hoành độ bằng \[1\].

(3, 0 điểm). Cho tam giác nhọn \[ABC\] \[\left( {AB < AC} \right)\], đường cao \[AH\]. Kẻ \[HD,\,\,HE\] lần lượt vuông góc với \[AB\], \[AC\] \((D \in AB,\,\,E \in AC)\).

a) Chứng minh \(ADHE\) là tứ giác nội tiếp.

b) Trên tia đối của tia \(DH\) lấy diểm \(F\)\(\left( {F \ne D} \right)\). Đường thẳng qua \(F\) vuông góc với \(FB\) cắt đường thẳng \(AH\)tại \(G\). Kẻ \(GI\) vuông góc với \(HF\)\(\left( {I \in HF} \right)\). Chứng minh  và \(IF = DH\).

c) Tia phân giác của góc \(HEC\) cắt \(CH\) tại \(K\). Kė \(KM,\,\,KN\) lần lượt vuông góc với \(EH,\,\,EC\)\(\left( {M \in EH,\,\,N \in EC} \right)\). Hai đoạn thẳng \(CM\) và \(HN\) cắt nhau tại \(T\). Gọi \(P\) là giao điểm của \(HN\) và \(KM\), \(Q\) là giao diểm của \(CM\)và \(KN\). Chứng minh \(ET\) vuông góc với \(PQ\).

Một bác nông dân có một bình đựng nước chè xanh, phần chứa nước là dạng hình trụ có bán kính đáy bằng \(4\,\,{\rm{cm}}\), mực nước trong bình có chiều cao bằng \[10{\rm{ cm}}\]. Bác muốn đổ hết nước từ bình sang một cái bát uống nước, phần chứa nước là dạng nửa hình cầu có bán kính bằng \[{\rm{6 cm}}\](hình vẽ bên). Hỏi nếu đổ như vậy thì nước có bị tràn ra ngoài hay không? Vì sao?