Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( { - 1; - 2} \right)\) và phương trình đường thẳng chứa cạnh \(BC\) là \(x + y + 4 = 0\). Biết đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác \(ABC\) có dạng \(ax + 2y + b = 0\). Tính \(a + 2b\).

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :x - y + 2 = 0\) và hai điểm \(M\left( {1;0} \right),N\left( { - 1;3} \right)\). Giả sử \(P\left( {a;b} \right)\) với \(\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \) sao cho tam giác \(MNP\) vuông tại \(P\). Tính \(T = 2a + 3b\).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y =  - 2 + 3t\end{array} \right.\) là

Trong mặt phẳng \(Oxy\), viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \(M\left( {0; - 2} \right)\) và \(N\left( { - 1;1} \right)\) là

Biết đường thẳng \(d:2x + by + c = 0\) đi qua điểm \(M\left( {1; - 2} \right)\) và song song với đường thẳng \(\Delta :2x - y + 1 = 0\). Tính giá trị biểu thức \(T = 2b + c\).

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 5t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\). Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là

An muốn đến nhà Bình chơi. Từ nhà An đến nhà Bình phải đi qua đường Hoàng Diệu có phương trình \(d:2x + y + 5 = 0\). Giả sử nhà An ở vị trí có tọa độ \(A\left( {1; - 3} \right)\), nhà Bình ở vị trí có tọa độ \[B\left( { - 4;2} \right)\]. Gọi điểm \(M\left( {a;b} \right)\) nằm trên đường Hoàng Diệu sao cho An đi từ nhà mình đến nhà Bình và qua \(M\) là đường đi ngắn nhất. Tính \(a + b\).

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x - 2y + 3 = 0\).Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là