Cho đường thẳng \(d:3x + 4y - 1 = 0\). Đường thẳng \(\Delta :3x + by + c = 0\left( {c >  - 5} \right)\) song song với \(d\) và cách \(A\left( {1;1} \right)\) một khoảng bằng 1. Tính \(b + c\).

Có hai con tàu \(A,B\) xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) với đơn vị trên các trục tính bằng km), tại thời điểm \(t\) (giờ), vị trí của tàu \(A\) có tọa độ được xác định bởi công thức \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 33t\\y =  - 4 + 25t\end{array} \right.\), vị trí tàu \(B\) có tọa độ là \(\left( {4 - 30t;3 - 40t} \right)\). Tính góc giữa hai đường đi của hai tàu \(A,B\) (đơn vị độ, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Cho tam giác \(ABC\) có phương trình đường thẳng chứa các cạnh \(AB,AC,BC\) lần lượt là \(x + 2y - 1 = 0;x + y + 2 = 0;2x + 3y - 5 = 0\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(BC\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\left( {a;b;c \in \mathbb{N};a < 2} \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d:3x - y + 4 = 0\) và \(\Delta \) cách \(A\left( {3;2} \right)\) một khoảng \(2\sqrt {10} \). Tính giá trị biểu thức \(T = 3a + b + 4c.\)

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {1;1} \right),B\left( {4;2} \right)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình: \(3x - 4y + 2 = 0\).

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 3 + t\end{array} \right.\) và \({d_2}:x + 3y - 10 = 0\).

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 3 - 4t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:3x - 4y + 9 = 0\).