Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {2;3} \right)\) và hai đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + 1 = 0\) và \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = 3t\end{array} \right.\).

Lời giải

Đường thẳng \(d\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) có dạng \(x + 2y + c = 0\).

Vì \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;2} \right)\) nên \(1 + 2 \cdot 2 + c = 0 \Rightarrow c =  - 5\).

Vậy \(d:x + 2y - 5 = 0\). Chọn D.

a) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1} \right)\).

b) Ta có \(d\left( {O,d} \right) = \frac{{\left| 2 \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 2 \).

c) Đường thẳng \(d\) cắt trục \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A\left( { - 2;0} \right),B\left( {0;2} \right)\).

Khi đó \({S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\).

d) Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1} \right)\) và trục \(Ox\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {0;1} \right)\).

Khi đó \(\cos \left( {d,Ox} \right) = \frac{{\left| {1 \cdot 0 + \left( { - 1} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {d,Ox} \right) = 45^\circ \).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;   c) Sai;    d) Đúng.