Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng \(d\) qua \(O\). Biết \(A\left( {10;2} \right),B\left( { - 10;8} \right)\) nằm cùng phía đối với đường thẳng \(d\). \(d\left( {A,d} \right) + d\left( {B,d} \right)\) lớn nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải

Đường thẳng \(d\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) có dạng \(x + 2y + c = 0\).

Vì \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;2} \right)\) nên \(1 + 2 \cdot 2 + c = 0 \Rightarrow c =  - 5\).

Vậy \(d:x + 2y - 5 = 0\). Chọn D.

a) Đường thẳng \(d\) cắt trục \(Ox,Oy\) lần lượt tại các điểm \(A\left( {2;0} \right),B\left( {0;2} \right)\) nên \(OA = OB,OA \bot OB\).

Do đó tam giác \(OAB\) vuông cân tại \(O\).

b) Đường tròn tâm \(A\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d\) có bán kính \(R = \frac{{\left| { - 1 + 2 - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

c) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 1} \right) = \overrightarrow {{u_d}} \) và \(A \notin d\) nên đường thẳng \(AB\) song song với \(d\).

d) Ta có \(A,B\) nằm cùng phía với đường thẳng \(d\).

Gọi \(A'\) đối xứng với \(A\) qua \(d\).

Ta có \(MA + MB = MA' + MB \ge A'B\).

Khi đó giá trị nhỏ nhất của \(MA + MB\) bằng \(A'B\) khi đó \(M\) là giao điểm của \(A'B\) với \(d\).

Mặt khác \(AB\) song song \(d\) nên \(M\) là trung điểm của \(A'B\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Suy ra \(MI//AA' \Rightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(d\).

Ta có \(I\left( { - \frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\).

\(MI \bot d\) nên \(MI:x - y + c = 0\).

Lại có \(I \in MI\) nên \( - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + c = 0 \Rightarrow c = 2\).

Do đó \(MI:x - y + 2 = 0\).

Khi đó \(MI \cap d = \left\{ M \right\} \Rightarrow M\left( {0;2} \right)\)\( \Rightarrow a = 0;b = 2 \Rightarrow a + b = 2\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;   c) Sai;    d) Đúng.