Trong mặt phẳng O x y , cho đường thẳng d qua O . Biết A ( 10 ; 2 ) , B ( − 10 ; 8 ) nằm cùng phía đối với đường thẳng d . d ( A , d ) + d ( B , d ) lớn nhất bằng bao nhi
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đường thẳng \(d\) đi qua \(O\) có dạng \(ax + by = 0\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\).
Ta có \(d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {10a + 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\); \(d\left( {B,d} \right) = \frac{{\left| { - 10a + 8b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
Do đó \(d\left( {A,d} \right) + d\left( {B,d} \right)\)\[ = \frac{{\left| {10a + 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + \frac{{\left| { - 10a + 8b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {10a + 2b} \right| + \left| { - 10a + 8b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\].
Do \(A,B\) nằm cùng phía với đường thẳng \(d\) nên \[10a + 2b\]và \[ - 10a + 8b\] phải cùng dấu.
Do đó \[\left| {10a + 2b} \right| + \left| { - 10a + 8b} \right| = \left| {10a + 2b + \left( { - 10a} \right) + 8b} \right| = \left| {10b} \right|\].
Do đó \(d\left( {A,d} \right) + d\left( {B,d} \right) = \frac{{\left| {10b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
Đặt \(a = kb,b \ne 0\). Khi đó \(d\left( {A,d} \right) + d\left( {B,d} \right) = \frac{{\left| {10b} \right|}}{{\sqrt {{k^2}{b^2} + {b^2}} }} = \frac{{10\left| b \right|}}{{\left| b \right|\sqrt {{k^2} + 1} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }}\).
Để \(\frac{{10}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }}\) lớn nhất thì \(\sqrt {{k^2} + 1} \) nhỏ nhất khi \(k = 0\)\( \Rightarrow a = 0\).
Khi đó đường thẳng \(d\) là trục hoành \(y = 0\).
Vậy \(d\left( {A,d} \right) + d\left( {B,d} \right)\) lớn nhất là 10.
Trả lời: 10.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập