Cho phương trình \({x^2} - (m - 1)x - 3m - 6 = 0,m\) là tham số. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {{x_1}} \right| = 5 + \left| {{x_2}} \right|\)

a) Chứng minh tứ giác \(DIHK\) nội tiếp đường tròn.

Ta có có \(\widehat {DIE} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Delta \,DKH\) vuông tại\[K\] nên \(D,K,H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[DH\]

\(\Delta \,DIH\) vuông tại \[I\]nên \(D,I,H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[DH\]

Vậy \(D,I,H,K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[DH\]hay tứ giác \[DIHK\]nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh \(CI.CD = CH.CK\) và \(HA.IB = HB.IA\).

Xét  và

có \(\widehat {DCK}\) chung và \(\widehat {CIH} = \widehat {CKD} = 90^\circ \). Suy ra  ( g.g)

nên \(\frac{{CI}}{{CK}} = \frac{{CH}}{{CD}}\) hay \[CI.CD = CH.CK\]

Xét \(\Delta OAB\) cân tại \[O\]có đường cao \[OK\]nên \[OK\] đồng thời là phân giác

Khi đó \(\widehat {AOK} = \widehat {KOB}\) suy ra cung .  Suy ra .

Vậy \[IE\]là phân giác của \[\widehat {AIB}\]nên \(\frac{{HA}}{{HB}} = \frac{{IA}}{{IB}}\) (tính chất đường phân giác) hay \(HA.HB = IA.HB\)

c) Vẽ \(DT\) vuông góc với đường thẳng \(AI\) tại \(T\), đường tròn đường kính \(CK\) cắt đoạn thẳng \(CD\) tại \(G(G \ne D)\). Chứng minh \(K,G,T\) thẳng hàng.

Do  vuông tại \[T\]và  vuông tại \[K\]nên \({\rm{D}},{\rm{T}},{\rm{A}},{\rm{K}}\) cùng thuộc đường tròn \[DA\]. Khi đó \(\widehat {TKD} = \widehat {TAD}\) (cùng chắn cung TD ) mà \(\widehat {TAD} = \widehat {IAD} = \widehat {IED}\) (cùng chắn cung ID ) nên \(\widehat {TKD} = \widehat {IED}\). Suy ra \[TK\,//\,IE\].

Do G thuộc đường tròn đường kinh CK nên \(\widehat {CGK} = {90^ \circ }\) nên \(KG \bot CD\)

Mà \(EI \bot CD\) (do I thuộc đường tròn đường kính DE ) nên \(KG//EI\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(T,G,K\) thẳng hàng.

Vì đồ thị hàm số đi qua \(A\left( { - 2; - 2} \right)\) nên thay \(x = - 2;y = - 2\) vào hàm số ta được:

\(\left( {m - 2} \right) \cdot {( - 2)^2} = - 2 \Rightarrow \)\(4\left( {m - 2} \right) = - 2 \Rightarrow \)\(m - 2 = - \frac{1}{2} \Rightarrow \)\(m = \frac{3}{2}\).

\(P = 4 \cdot {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} - 2 \cdot \frac{3}{2} + 5 = 11\).