Cho đường tròn \((O)\) và dây cung \(AB\) khác đường kính. Điểm \(C\) nằm trên đường thẳng \(AB\) sao cho \(A\) nằm giữa \(B\) và \(C\). Vẽ đường kính \(DE\) của \((O)\) vuông góc với dây cung \(AB\) tại \(K\) ( \(D\) nằm trên cung lớn \(AB\) ). Tia \(CD\) cắt \((O)\) tại \(I\) \((I \ne D)\). Các dây \(AB,EI\) cắt nhau tại\(H\).

a) Chứng minh tứ giác \(DIHK\) nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh \(CI.CD = CH.CK\) và \(HA.IB = HB.IA\).

c) Vẽ \(DT\) vuông góc với đường thẳng \(AI\) tại \(T\), đường tròn đường kính \(CK\) cắt đoạn thẳng \(CD\) tại \(G(G \ne D)\). Chứng minh \(K,G,T\) thẳng hàng.

a) Chứng minh tứ giác \(DIHK\) nội tiếp đường tròn.

Ta có có \(\widehat {DIE} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Delta \,DKH\) vuông tại\[K\] nên \(D,K,H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[DH\]

\(\Delta \,DIH\) vuông tại \[I\]nên \(D,I,H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[DH\]

Vậy \(D,I,H,K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[DH\]hay tứ giác \[DIHK\]nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh \(CI.CD = CH.CK\) và \(HA.IB = HB.IA\).

Xét  và

có \(\widehat {DCK}\) chung và \(\widehat {CIH} = \widehat {CKD} = 90^\circ \). Suy ra  ( g.g)

nên \(\frac{{CI}}{{CK}} = \frac{{CH}}{{CD}}\) hay \[CI.CD = CH.CK\]

Xét \(\Delta OAB\) cân tại \[O\]có đường cao \[OK\]nên \[OK\] đồng thời là phân giác

Khi đó \(\widehat {AOK} = \widehat {KOB}\) suy ra cung .  Suy ra .

Vậy \[IE\]là phân giác của \[\widehat {AIB}\]nên \(\frac{{HA}}{{HB}} = \frac{{IA}}{{IB}}\) (tính chất đường phân giác) hay \(HA.HB = IA.HB\)

c) Vẽ \(DT\) vuông góc với đường thẳng \(AI\) tại \(T\), đường tròn đường kính \(CK\) cắt đoạn thẳng \(CD\) tại \(G(G \ne D)\). Chứng minh \(K,G,T\) thẳng hàng.

Do  vuông tại \[T\]và  vuông tại \[K\]nên \({\rm{D}},{\rm{T}},{\rm{A}},{\rm{K}}\) cùng thuộc đường tròn \[DA\]. Khi đó \(\widehat {TKD} = \widehat {TAD}\) (cùng chắn cung TD ) mà \(\widehat {TAD} = \widehat {IAD} = \widehat {IED}\) (cùng chắn cung ID ) nên \(\widehat {TKD} = \widehat {IED}\). Suy ra \[TK\,//\,IE\].

Do G thuộc đường tròn đường kinh CK nên \(\widehat {CGK} = {90^ \circ }\) nên \(KG \bot CD\)

Mà \(EI \bot CD\) (do I thuộc đường tròn đường kính DE ) nên \(KG//EI\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(T,G,K\) thẳng hàng.