Cho Parabol \((P):y = (m - 2){x^2}\) có đồ thị như hình vẽ

Tính giá trị biểu thức \(P = 4{m^2} - 2m + 5\)

a) Chứng minh tứ giác \(DIHK\) nội tiếp đường tròn.

Ta có có \(\widehat {DIE} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Delta \,DKH\) vuông tại\[K\] nên \(D,K,H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[DH\]

\(\Delta \,DIH\) vuông tại \[I\]nên \(D,I,H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[DH\]

Vậy \(D,I,H,K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[DH\]hay tứ giác \[DIHK\]nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh \(CI.CD = CH.CK\) và \(HA.IB = HB.IA\).

Xét  và

có \(\widehat {DCK}\) chung và \(\widehat {CIH} = \widehat {CKD} = 90^\circ \). Suy ra  ( g.g)

nên \(\frac{{CI}}{{CK}} = \frac{{CH}}{{CD}}\) hay \[CI.CD = CH.CK\]

Xét \(\Delta OAB\) cân tại \[O\]có đường cao \[OK\]nên \[OK\] đồng thời là phân giác

Khi đó \(\widehat {AOK} = \widehat {KOB}\) suy ra cung .  Suy ra .

Vậy \[IE\]là phân giác của \[\widehat {AIB}\]nên \(\frac{{HA}}{{HB}} = \frac{{IA}}{{IB}}\) (tính chất đường phân giác) hay \(HA.HB = IA.HB\)

c) Vẽ \(DT\) vuông góc với đường thẳng \(AI\) tại \(T\), đường tròn đường kính \(CK\) cắt đoạn thẳng \(CD\) tại \(G(G \ne D)\). Chứng minh \(K,G,T\) thẳng hàng.

Do  vuông tại \[T\]và  vuông tại \[K\]nên \({\rm{D}},{\rm{T}},{\rm{A}},{\rm{K}}\) cùng thuộc đường tròn \[DA\]. Khi đó \(\widehat {TKD} = \widehat {TAD}\) (cùng chắn cung TD ) mà \(\widehat {TAD} = \widehat {IAD} = \widehat {IED}\) (cùng chắn cung ID ) nên \(\widehat {TKD} = \widehat {IED}\). Suy ra \[TK\,//\,IE\].

Do G thuộc đường tròn đường kinh CK nên \(\widehat {CGK} = {90^ \circ }\) nên \(KG \bot CD\)

Mà \(EI \bot CD\) (do I thuộc đường tròn đường kính DE ) nên \(KG//EI\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(T,G,K\) thẳng hàng.

Gọi giá một chiếc tivi, một chiếc máy giặt khi chưa giảm giá lần lượt là \(x,y\) (triệu đồng) \((0 < x,y < 25)\).

Vì giá tiền một chiếc tivi và một chiếc máy giặt khi chưa giảm giá là 25 triệu đồng nên ta có phương trình \(x + y = 25\) (1)

Giá tiền một chiếc tivi sau khi giảm giá \(20{\rm{\% }}\) là: \(x - 20{\rm{\% }}x = 0,8x\) (triệu đổng)

Giá tiền một chiếc máy giặt sau khi giảm giá \(15{\rm{\% }}\) là: \(y - 15{\rm{\% }}y = 0,85y\) (triệu đồng)

Vì giá tiền một chiếc tivi và một chiếc máy giặt sau khi giảm giá là 20,5 triệu đồng nên ta có phương trình \(0,8x + 0,85y = 20,5\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 25}\\{0,8x + 0,85y = 20,5}\end{array}} \right.\).

Giải hệ phương trình trên ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 15\\y = 10\end{array} \right.\). Vậy giá tiền một chiếc tivi trước khi giảm giá là 15 triệu đồng, giá tiền một chiếc máy giạt trước khi giảm giá là 10 triệu đồng.