Tính giá trị biểu thức \(T = {\rm{sin}}30^\circ + 2{\rm{cos}}\,30^\circ - \frac{5}{2}{\rm{tan}}45^\circ \).

a) Ta có \(\widehat {MAO} = {90^ \circ }\) ( \(MA\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)).

Suy ra tam giác \(MAO\) vuông tại \(A\).
Suy ra 3 điểm \(M,A,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(MO\).

Lai có \(\widehat {MBO} = {90^ \circ }(MB\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right))\).
Suy ra tam giác \(MBO\) vuông tại \(B\).
Suy ra 3 điểm \(M,B,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(MO\).
Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm \(M,A,O,B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(MO\).
b) Ta có \(OA = OB\) (vì \(A,B \in \left( O \right)\) ) nên \(O\) thuộc đường trung trực của \(AB\).

Lại có \(MA = MB\) (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau) nên \(M\) cūng thuộc đường trung trực của \(AB\).
Do đó \(MO\) là đường trung trực của \(AB\).
Suy ra \(MO \bot AB\) tại \(H\), suy ra \(\widehat {MHA} = 90^\circ \).
Xét \(\Delta MHA\) và \(\Delta MAO\) có

·       \(\widehat {OMA}\) : góc chung.

·       \(\widehat {MHA} = \widehat {MAO} = 90^\circ \)

Suy ra  (g.g).
\( \Rightarrow \frac{{MH}}{{MA}} = \frac{{MA}}{{MO}} \Rightarrow MH \cdot MO = M{A^2}\).
Ta có \(\widehat {AEC} = {90^ \circ }\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Suy ra tam giác \(ACE\) vuông tại \(E\).
Suy ra \(\widehat {EAC} + \widehat {ECA} = 90^\circ \).
Mà \(\widehat {EAC} + \widehat {EAM} = \widehat {MAO} = {90^ \circ }(MA\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right))\) nên \(\widehat {EAM} = \widehat {ECA}\) (cùng cộng với \(\widehat {EAC}\) bả̀ng \(90^\circ )\) hay \(\widehat {MAE} = \widehat {MCA}\).
Xét và có

·       \(\widehat {CMA}\) : góc chung.

·       \(\widehat {MAE} = \widehat {MCA}\) (chứng minh trên).

Suy ra  (g.g).
\( \Rightarrow \frac{{ME}}{{MA}} = \frac{{MA}}{{MC}} \Rightarrow ME \cdot MC = M{A^2}\).
Từ (3) và (4) suy ra \(ME \cdot MC = MH \cdot MO\left( { = M{A^2}} \right)\) (đièu phải chứng minh).

Xét phép thử "Lấy ra ngẫu nhiên cùng một lúc 2 quả bóng từ trong hộp".

Nhận thấy tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử là đồng khả năng.
Gọi \(\left( {x;y} \right)\) là một kết quả của phép thử khi lấy được 2 quả bóng có đánh số là \(x\) và \(y\).
Không gian mẫu của phép thử

               \({\rm{\Omega }} = \left\{ {\left( {1;2} \right);\left( {1;3} \right);\left( {1;4} \right);\left( {1;5} \right);\left( {2;3} \right);\left( {2;4} \right);\left( {2;5} \right);\left( {3;4} \right);\left( {3;5} \right);\left( {4;5} \right)} \right\}.\)

Số phần tử của không gian mẫu là 10 phần tử. Xét biến cố \(A\) :"Trong 2 quả bóng lấy ra có ít nhất 1 quả bóng ghi số chẵn".
Ta có \(A = \left\{ {\left( {1;2} \right);\left( {1;4} \right);\left( {2;3} \right);\left( {2;4} \right);\left( {2;5} \right);\left( {3;4} \right);\left( {4;5} \right)} \right\}\).
Có 7 kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\).
Xác suát của biến có \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{7}{{10}} = \frac{1}{2}\).