B. Tự luận

Ông A có một mảnh vườn hình Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\) có khoảng cách giữa hai tiêu điểm \({F_1}{F_2} = 40\;{\rm{m}}\) và tổng khoảng cách đo được từ một điểm \(M\) bất kì thuộc elip đến hai tiêu điểm bằng 50 m. Ông chia mảnh vườn ra làm hai nửa bằng một đường tròn bán kình 15 m tiếp xúc trong với Elip (tham khảo hình vẽ). Nửa bên trong đường tròn ông nuôi gà, nửa bên ngoài đường tròn ông làm đường đi. Tính diện tích phần làm đường đi. Biết diện tích hình Elip được tính theo công thức \(S = \pi ab\) với độ rộng của đường Elip, đường tròn là không đáng kể.

Lời giải

Gọi \(I\left( {x;y} \right)\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \).

Ta có \(\overrightarrow {IA}  = \left( {1 - x; - 4 - y} \right),\overrightarrow {IB}  = \left( { - 2 - x;2 - y} \right),\overrightarrow {IC}  = \left( { - 5 - x;4 - y} \right)\).

Theo bài ta có \(\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}1 - x + 2\left( { - 2 - x} \right) + 3\left( { - 5 - x} \right) = 0\\ - 4 - y + 2\left( {2 - y} \right) + 3\left( {4 - y} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x - 4 - 2x - 15 - 3x = 0\\ - 4 - y + 4 - 2y + 12 - 3y = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6x - 18 = 0\\ - 6y + 12 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( { - 3;2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {MI}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {MI}  + 3\overrightarrow {IC} \)\( = 6\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = 6\overrightarrow {MI} \).

Do \(\left| {\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right| = 6\left| {\overrightarrow {MI} } \right|\) nhỏ nhất khi \(MI\) nhỏ nhất.

Lại có \(M \in Ox\) nên \(MI\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(I\left( { - 3;2} \right)\) trên \(Ox\).

Suy ra tọa độ \(M\left( { - 3;0} \right)\). Vậy \(T =  - 6\).

Trả lời: −6.

Lời giải

a) Giả sử \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\).

Vì Elip đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{{{a^2}}} = 1\\\frac{4}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 1,8\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{{1,8}} = 1\).

b) Phương trình đường tròn tâm \(B\) và có bán kính \(R = 6\) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 36\).

c) \(R = d\left( {B,\Delta } \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 2 - \left( { - 1} \right) + 8} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{13}}{{\sqrt 5 }}\).

Phương trình đường tròn tâm \(B\) và tiếp xúc với \(\Delta \) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = \frac{{169}}{5}\).

d) Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\).

Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\I \in \Delta \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I \in \Delta \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {3 - a} \right)^2} + {b^2} = {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( { - 1 - b} \right)^2}\\2a - b + 8 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 2b = 4\\2a - b =  - 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 4\end{array} \right.\)

Vậy \(I\left( { - 2;4} \right)\). Suy ra \(R = IA = \sqrt {{{\left( {3 + 2} \right)}^2} + {4^2}}  = \sqrt {41} \).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Sai;    d) Sai.